Decimos que un vector es combinación lineal de otros cuando podemos expresarlo como operaciones de suma de los vectores , cada uno de los cuales ha sido multiplicado por un escalar ki :
No te dejes abrumar, cuando trabajamos en el plano (2D), esto se simplifica enormemente.
El vector es combinación lineal de los vectores y cuando puede expresarse según:
Siendo k1 y k2 dos escalares (números) cualesquiera.
Algunos ejemplos
Los vectores rojos, en 1 y en 2, son combinación lineal de los vectores naranja y verde pues pueden obtenerse mediante sumas y restas de vectores proporcionales a estos últimos.
Decimos que un vector es linealmente dependiente de otro u otros cuando puede expresarse como combinación lineal de los demas. En el plano, dos vectores paralelos son linealmente dependientes. En caso contrario, son linealmente independientes.
¿Cómo expresar un vector en a partir de otros dos?
En el plano, cualquier vector puede ser expresado como combinación lineal de otros dos vectores no paralelos, es decir, como combinación lineal de otros dos vectores linealmente independientes.
Analíticamente
Basta aplicar la definición de combinación lineal estudiada, así, si queremos por ejemplo expresar el vector como combinación lineal de los vectores y , haríamos:
Plantearíamos un sistema de ecuaciones igualando las componentes x por un lado, y las componentes y por otro, y resolveríamos:
Esto quiere decir que: .
Otro posible ejemplo sería expresar el vector como combinación lineal de los vectores y . En este caso:
Y por tanto .
Gráficamente
Centrémonos en este último ejemplo para explicar el proceso. Queremos expresar el como combinación lineal de y , y se trata de buscar k1 y k2 gráficamente.
Método gráfico cálculo factores de combinación lineal
En primer lugar, tenemos que situar , , y en un origen común. Posteriormente, prologamos las direcciones de los vectores aSUB1 y aSub2, obteniendo las rectas A1 y A2. En tercer lugar trazamos las paralelas de A1 y A2, que pasan por el extremo de . Las llamaremos A1' y A2' respectivamente. Del corte de A1 con A2' obtenemos p1, que determinará k1, y del corte de A2 con A1' obtenemos p2, que determinará k2 como se ve en 4.
Estudiaremos el caso de vectores en el espacio tridimenional cuando veamos el concepto de base de un conjunto de vectores.