De forma general, una de las posibles representaciones de la ecuación de una recta tiene la forma que se describe a continuación. Al igual que en otro tipo de ecuaciones podemos diferenciar claramente dos constantes muy importantes:
- La constante m, también denominada pendiente, que determina la "inclinación" de la recta.
- Y la constante y0 que es la ordenada en el origen, es decir, donde la recta corta al eje y.
| Fórmula | Representación |
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La fórmula anterior es una de las varias posibles que hay para representar una recta. La llamamos ecuación explícita de la recta. Pulsa la pestaña Ver también para estudiar otras ecuaciones posibles.
Pendiente
Hemos dicho que la pendiente determina la "inclinación" de la recta. Pues bien, conocidos dos puntos por los que pase la recta, P1(x1, y1) y P2(x2, y2), podemos calcular la pendiente de la misma según:
Demostración
Si sustituimos en la ecuación explícita x e y por las coordenadas concretas de los puntos por los que pasa (es decir, de P1 y de P2), obtenemos un sistema de dos ecuaciones, cuyas incógnitas serían m e y0. Despejaríamos m y llegaríamos a la expresión señalada anteriormente:
Observa que la pendiente de la recta tangente también se puede escribir en función del ángulo α que forma la misma con el eje x:
Pendiente de una recta
La pendiente de una recta que pasa por dos puntos puede ser calculada también como la tangente del ángulo α que la recta forma con el eje x.
Ordenada en el origen
La ordenada en el origen, y0, también es conocida como desplazamiento respecto al origen. Ya sabes que nos marca el punto de corte de la recta con el eje y. Conocidos dos puntos por los que pase la recta, P1(x1, y1) y P2(x2, y2), podemos calcular la ordenada en el origen de la misma según:
No te recomendamos que memorices la expresión anterior, sino que plantees un sistema, tal y como hacemos en este ejercicio.
Demostración
Sustituyendo en la ecuación explícita x e y por las coordenadas concretas de los puntos por los que pasa (es decir, de P1 y de P2), obtenemos un sistema de dos ecuaciones, cuyas incógnitas serían m e y0. Despejaríamos y0 en este caso y llegaríamos a la expresión señalada anteriormente:
Quizás la forma más sencilla de calcular la expresión de una recta conocidos dos puntos por los que pasa la misma P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es utilizar la ecuación continua y despejar la y:
Por ahora, queda fuera del alcance de este nivel, pero puedes consultarla en el apartado enlazado para estudiarla en detalle.
En el contexto del análisis matemático, que estudiaremos en niveles posteriores, una recta es una función polinómica de primer grado. Según los valores de m y n podemos distinguir:
- Función identidad: m=1, n = 0 ; y=x
- Función lineal: m ≠ 1, n = 0 ; y=-3x
- Función afín: m ≠ 1, n ≠ 0 ; y=3x-1
Pero ten cuidado, en el contexto de la geometría y del álgebra a veces se habla de funciones lineales simplemente para referirnos a cualquier funcion polinómica de grado 1.