Ecuación de una Recta

De forma general, una de las posibles representaciones de la ecuación de una recta tiene la forma que se describe a continuación. Al igual que en otro tipo de ecuaciones podemos diferenciar claramente dos constantes muy importantes:

La constante m, también denominada pendiente, que determina la "inclinación" de la recta.
Y la constante y₀ que es la ordenada en el origen, es decir, donde la recta corta al eje y.

Fórmula	Representación
$y = m x + y_{0}$

La fórmula anterior es una de las varias posibles que hay para representar una recta. La llamamos ecuación explícita de la recta. Pulsa la pestaña Ver también para estudiar otras ecuaciones posibles.

Pendiente

Hemos dicho que la pendiente determina la "inclinación" de la recta. Pues bien, conocidos dos puntos por los que pase la recta, P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂), podemos calcular la pendiente de la misma según:

$m = \frac{∆ y}{∆ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Demostración

Si sustituimos en la ecuación explícita x e y por las coordenadas concretas de los puntos por los que pasa (es decir, de P₁ y de P₂), obtenemos un sistema de dos ecuaciones, cuyas incógnitas serían m e y₀. Despejaríamos m y llegaríamos a la expresión señalada anteriormente:

$\begin{matrix} y_{1} = m x_{1} + y_{0} \\ y_{2} = m x_{2} + y_{0} \end{matrix} \Rightarrow \begin{matrix} y_{1} = m x_{1} + y_{0} \\ - y_{2} = m x_{2} + y_{0} \\ y_{1} - y_{2} = m (x_{1} - x_{2}) \end{matrix} \Rightarrow m = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{∆ y}{∆ x}$

Observa que la pendiente de la recta tangente también se puede escribir en función del ángulo α que forma la misma con el eje x:

$m = \tan (α)$

Pendiente de una recta

La pendiente de una recta que pasa por dos puntos puede ser calculada también como la tangente del ángulo α que la recta forma con el eje x.

Ordenada en el origen

La ordenada en el origen, y₀, también es conocida como desplazamiento respecto al origen. Ya sabes que nos marca el punto de corte de la recta con el eje y. Conocidos dos puntos por los que pase la recta, P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂), podemos calcular la ordenada en el origen de la misma según:

$y_{0} = \frac{x_{2} y_{1} - x_{1} y_{2}}{x_{2} - x_{1}}$

No te recomendamos que memorices la expresión anterior, sino que plantees un sistema, tal y como hacemos en este ejercicio.

Ejemplo

Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,1) y (16,31) utilizando la ecuación explícita de la recta.

Ver solución

Demostración

Sustituyendo en la ecuación explícita x e y por las coordenadas concretas de los puntos por los que pasa (es decir, de P₁ y de P₂), obtenemos un sistema de dos ecuaciones, cuyas incógnitas serían m e y₀. Despejaríamos y₀ en este caso y llegaríamos a la expresión señalada anteriormente:

$\begin{matrix} y_{1} = m x_{1} + y_{0} \\ y_{2} = m x_{2} + y_{0} \end{matrix} \Rightarrow \begin{matrix} x_{2} y_{1} = m x_{1} + y_{0} \\ - x_{1} y_{2} = m x_{2} + y_{0} \end{matrix} \begin{matrix} x_{2} y_{1} = x_{2} m x_{1} + x_{2} y_{0} \\ - x_{1} y_{2} = - x_{1} m x_{2} - x_{1} y_{0} \\ x_{2} y_{1} - x_{1} y_{2} = y_{0} (x_{2} - x_{1}) \end{matrix} \Rightarrow y_{0} = \frac{x_{2} y_{1} - x_{1} y_{2}}{x_{2} - x_{1}}$

Quizás la forma más sencilla de calcular la expresión de una recta conocidos dos puntos por los que pasa la misma P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂) es utilizar la ecuación continua y despejar la y:

$\frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}}$

Por ahora, queda fuera del alcance de este nivel, pero puedes consultarla en el apartado enlazado para estudiarla en detalle.

Experimenta y Aprende

Datos

Ecuación de una recta

Mueve el deslizador para cambiar el valor de la pendiente (m) y corte con el eje y (y₀) observa como se comporta la recta

En el contexto del análisis matemático, que estudiaremos en niveles posteriores, una recta es una función polinómica de primer grado. Según los valores de m y n podemos distinguir:

Función identidad: m=1, n = 0 ; y=x
Función lineal: m ≠ 1, n = 0 ; y=-3x
Función afín: m ≠ 1, n ≠ 0 ; y=3x-1

Pero ten cuidado, en el contexto de la geometría y del álgebra a veces se habla de funciones lineales simplemente para referirnos a cualquier funcion polinómica de grado 1.

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.