Función Definida a Trozos

Una función definida a trozos es una función con distinto comportamiento según el intervalo de su variable independiente considerado. A cada uno de estos intervalos se les conoce con el nombre de ramas. Observa el siguiente ejemplo:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}1+0.5·x& \text{si}& 0<x\le 5\\ 0.7x& \text{si}& x>5\end{array}\right.$$

Se trata de una función con dos ramas:

• La primera rama, definida por una regla de correspondencia 1+0.5·x es la que nos da el valor de f(x) cuando consideramos una variable independiente x tal que $x\in (0, 5]$. Así, ∄ f(0), f(2)=1+0.5·2=2 y f(5)=1+0.5·5=3.5.
• La segunda rama, definida por una regla de correspondencia 0.7·x es la que nos da el valor de f(x) cuando consideramos una variable independiente x tal que $x\in [5, \infty )$. Así, f(5.01)=0.7·5.01=3.507 y f(10)=7.

En este apartado vamos a profundizar en su estudio a través de los siguientes puntos:

• Concepto
• Representación gráfica
• Análisis
  • Dominio

¿Preparado?

Concepto

Las funciones por ramas son muy importantes para modelar el comportamiento de fenómenos reales de tu día a día. 

Tu compañía telefónica establece el precio de una llamada con un coste de establecimiento de 1€. Además, los primeros 5 minutos de llamada se pagan a 0.5€. a partir de entonces el costo del minuto es de 0.7€.

A partir de esta situación podemos encontrar una función f(x) que nos permita conocer el importe de una llamada a partir de los minutos x que dura la misma. Es claro que el valor de x debe ser mayor que 0, para que pueda existir una llamada, y por tanto nos cobren por ella. Además, existen dos tramos claramente diferenciados:

• El primer tramo, en los primeros 5 minutos de llamada: $0<x⩽5\Rightarrow 1+0.5x$
• El segundo tramo, a partir del minuto 5 de la llamada, en el que el coste será el coste completo de los 5 primeros minutos de llamada, más 0.7€ por minuto: $x>5\Rightarrow 3.5+0.7\left(x-5\right)=0.7x$

Así pues nos queda como resultado la función con la que abríamos el apartado:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}1+0.5·x& \text{si}& 0<x\le 5\\ 0.7x& \text{si}& x>5\end{array}\right.$$

Gráfica

Para realizar la gráfica de una función definida a trozos, simplemente hay que tener en cuenta que cada tramo corresponde con una fórmula distinta y, por tanto, también con una forma gráfica distinta. Procederemos elaborando una tabla de valores para cada rama, teniendo en cuenta  que los valores de x que escojamos deben pertenecer a dicha rama.  Posteriormente representaremos la rama en el rango de valores para el que es válida. Para ello debes prestar especial atención a los extremos de cada rama, que han de estar incluidos en la tabla. Así mismo, debes tener claro el significado de los signos <, ≤, ≥ y >.

Gráfica de una función a trozos

En la ilustración, proceso de elaboración de la gráfica de una función definida a trozos. Partiendo de la expresión analítica, elaboramos una tabla de valores y finalmente representamos dichos valores sobre los ejes cartesianos. Hemos utilizado el verde para representar la primera rama y el rojo para representar la segunda. Observa los extremos de las ramas, representados con puntos solidos, si están incluidos, o transparentes, si no lo están. De manera general podemos decir que el punto sólido correspondería con los símbolos ≥ y ≤ y el punto transparente con los símbolos > y < de la expresión analítica de la función.

Aunque dos ramas distintas pueden estar definidas para subconjuntos en los que aparezca el mismo valor en su extremo, solo uno de ellos como máximo tendrá un signo igual ( ≤ o ≥ ). El valor de la función en un cambio de rama se obtiene justamente sustituyendo el valor de x en la rama que tiene el signo igual. La siguiente imagen ilustra estas ideas.

Cambio de rama

En la función de la ilustración el valor x=0 es el extremo en el que se produce el cambio de rama. Por tanto, cuando elaboremos las tablas de valores debemos incluirlo en ambas, para saber donde termina una rama y donde comienza la otra. Así, la primera rama termina en el (0,0) y la segunda comienza en el (0,1). Sin embargo, el signo igual, y por consiguiente el punto sólido de la gráfica, está sólo en una de ellas: la primera rama (x≤0). Esto implica que f(0)=0²=0. Por otro lado, el punto transparente indica el valor de la función cuando escogemos una x muy próxima a 0, pero un poquito mayor. Por ejemplo f(0.00001)≈1.

Si la función es continua en el cambio de rama, el punto sólido y el punto transparente se superpondrán, pudiendo ser representados simplemente como una línea continua. Este es el caso de la función con la que abríamos este apartado, en x=5.

Continuidad en cambios de rama

Representación gráfica de la función $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}1+0.5·x& \text{si}& 0<x\le 5\\ 0.7x& \text{si}& x>5\end{array}\right.$. Observa que, en x=5 ambas ramas tienen igual valor, con lo que el punto sólido se superpondría al transparente, quedando finalmente como un trazo continuo.

Análisis

El estudio de una función definida a trozos abarca los mismos puntos que el análisis de una función de una sola rama, esto es, la monotonía, la curvatura, simetría, etc. En este tema procederemos generalmente representando la gráfica de la función y estudiando esta. Sin embargo, en temas posteriores aprenderemos a:

• Estudiar la continuidad de una función a trozos
• Calcular la expresión de su derivada
• Estudiar su derivabilidad

Mención especial merece el estudio del dominio.

Dominio

En una función definida a trozos el dominio es la unión de los diferentes subominios asociados a cada una de las ramas. Por ejemplo:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}x+1& \text{si}& x\le 2\\ x^2& \text{si}& x>3\end{array}\right.$$

El dominio de la función total vendrá dado según: $Do{m}_f=Do{m}_1\cup Do{m}_2=(-\infty ,2]\cup (3,\infty )=\mathrm{ℝ}-(2,3]$.

Puedes profundizar en el estudio del dominio de funciones, y en concreto de las funciones definidas a trozos, en el apartado del tema que dedicamos a ello.

Conclusiones

En este apartado hemos estudiado las funciones definidas a trozos. Es importante que te familiarices con la representación gráfica de las mismas, especialmente en los cambios de rama. Cuando hayamos estudiado el concepto de continuidad y derivabilidad abordaremos también esta idea para este tipo de funciones. Por el momento puedes empezar a practicar con los ejercicios que aquí te planteamos.