Radio de un m.c.u.

Datos

Centro de la trayectoria circular: C (0,0) m

Punto perteneciente a la trayectoria circular: A (3,4) m

Resolución

a) El vector de posición $\overrightarrow{r}$ de cualquier cuerpo es un vector que va desde el origen de coordenadas hasta la posición de dicho cuerpo. Por tanto, para calcular dicho vector tendremos que calcular el vector que va desde el centro C hasta el punto A.

$$\begin{gathered} \overrightarrow{r}=\overrightarrow{CA}=\left(3,4\right) - \left(0,0\right)=\left(3,4\right)\Rightarrow \\ \boxed{\overrightarrow{r}=3 ·\overrightarrow{ i} + 4 ·\overrightarrow{ j }m} \end{gathered}$$

b) Para calcular el radio de la circunferencia debemos calcular la distancia desde el punto origen C hasta cualquiera de los puntos que conforman la trayectoria. Dado que conocemos uno de estos puntos (A) y ya disponemos del vector de posición en dicho punto, el módulo de dicho vector equivale al valor de R. Por tanto:

$$\begin{gathered} \left|\overrightarrow{r}\right|=R=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25} \Rightarrow \\ \boxed{R=5 m} \end{gathered}$$

c) Teniendo en cuenta que conocemos el vector de posición en el punto A (3,4):

Tenemos dos ecuaciones para calcular la posición angular:

$$\left.\begin{array}{r}x =\hspace{0.17em}R· \cos \phi \\ y = R · \sin \phi \end{array}\right\}\left.\begin{array}{r}3=5·\cos \phi \\ 4=5·\sin \phi \end{array}\right\}$$

Utilizando la primera de ellas:

$$\begin{gathered} \cos \phi =\hspace{0.17em}\frac{3}{5} \Rightarrow \\ \phi = arc \cos \frac{3}{5} \Rightarrow \\ \boxed{\phi = 53.13º} \end{gathered}$$