Tiempo de vuelo, velocidad inicial y altura máxima en movimiento parabólico

Enunciado

dificultad

Un jugador de lanzamiento de peso de 1.95 metros de altura consigue lanzar un cuerpo a 25 metros de distancia. Sabiendo que la trayectoria se inicia con una elevación de 40º, calcula:

Tiempo de vuelo del peso
Velocidad inicial del peso
Altura máxima del movimiento

Solución

Datos

Altura inicial del lanzamiento y₀ = H = 1.95 m
Distancia final en eje horizontal x = 25 m
Ángulo inicial $α = 40 º = 0.69 r a d$

Consideraciones previas

El movimiento en su trayectoria describirá un movimiento parabólico, composición de un movimiento rectilíneo uniforme en el eje x y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el eje y
La distancia inicial en el eje horizontal x₀= 0
La componentes x de la velocidad inicial viene dada por $v_{0 x} = v_{0} \cdot \cos (α)$
Las componentes y de la velocidad inicial viene dada por $v_{0 y} = v_{0} \cdot \sin (α)$
Consideramos la aceleración de la gravedad g = 9.8 m/s²

Resolución

La ecucación de posición del movimiento parabólico viene dada por la expresión:

$\vec{r} (t) = x (t) \cdot \vec{i} + y (t) \cdot \vec{j} = (x_{0} + v_{0 x} \cdot t) \cdot \vec{i} + (H + v_{0 y} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2}) \cdot \vec{j}$

Si el cuerpo cae a 25 metros quiere decir que en ese instante, su vector de posición es:

$\vec{r} (t) = 25 \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j} = (+ v_{0} \cdot \cos (α) \cdot t) \cdot \vec{i} + (H + v_{0} \cdot \sin (α) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2}) \cdot \vec{j}$

Sustituyendo valores y despejando nos queda:

$\begin{array}{r} 25 = v_{0} \cdot \cos (0.69) \cdot t \\ 0 = 1.95 + v_{0} \cdot \sin (0.69) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^{2} \end{array}\} \begin{array}{r} v_{0} = \frac{25}{\cos (0.69) \cdot t} \\ 0 = 1.95 + v_{0} \cdot \sin (0.69) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^{2} \end{array}\} 0 = 1.95 + 25 \cdot \tan (0.69) - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^{2} \Rightarrow t = 2.1 s$

$v_{0} = \frac{25}{\cos (0.69) \cdot t} = \frac{25}{\cos (0.69) \cdot 2.1} = 15.4 m / s$

En función de sus componentes:

${\vec{v}}_{0} = (v_{0} \cdot \cos (0.69)) \cdot \vec{i} + (v_{0} \cdot \sin (0.69)) \cdot \vec{j} = 11.8 \cdot \vec{i} + \cdot 9.8 \vec{j}$

La altura máxima se produce cuando la velocidad en el eje vertical y es cero:

$v_{y} = v_{0 y} - g \cdot t \Rightarrow 0 = 9.8 - 9.8 \cdot t \Rightarrow t = 1 s$

Sustituyendo ese valor de t en la componente y de la ecuación de posición obtenemos el valor de altura máxima:

$y = H + v_{0 y} \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^{2} \Rightarrow y = 1.95 + 9.8 \cdot 1 - \frac{1}{2} 9.8 \cdot 1^{2} = 6.85 m$

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas

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