Un muelle que actúa de oscilador armónico

Datos

• Masa del objeto m = 200 g = 0.2 kg
• Longitud del muelle sin peso: L₀ = 35 cm = 35·10^-2 m
• Longitud del muelle con peso: L₀ + x₀= 45 cm = 45·10^-2 m
• Longitud del muelle estirado: L₀ + x₀ + x = 55 cm = 55·10^-2 m

Consideraciones previas

• Sabemos que la fuerza restauradora de un muelle se rige por la Ley de Hooke. ${\overrightarrow{F}}_e=-k·\overrightarrow{x}$ 
• Consideramos el valor de la gravedad: g = 9.8 m/s²

Resolución

Sabemos que, cuando se cuelga el objeto del muelle y queda en equilibrio estático, el peso debe ser igual que la fuerza restauradora, pues no hay aceleración.

$${\overrightarrow{F}}_t={\overrightarrow{F}}_e+\overrightarrow{P}=-k·{\overrightarrow{x}}_0+m·\overrightarrow{g}=0\Rightarrow k·x_0=m·g\Rightarrow k=\frac{m·g}{x_0}$$ 

Donde x₀ es la distancia a la posición de equilibrio, es decir, x₀ = 45·10^-2 - L₀ = 45·10^-2 - 35·10^-2 = 10·10^-2m. Sustituyendo valores nos queda:

$$k=\frac{m·g}{x_0}=\frac{0.2·9.8}{10·{10}^{-2}}=\boxed{19.6 \text{N/m}}$$ 

En cuanto a las fuerzas que actúan sobre el muelle una vez estirado vamos a realizar las cuentas considerando el sentido positivo hacia abajo:

• Fuerza peso: P = m·g = 1.96 N. Su dirección es la del eje y y su sentido hacia abajo

• Fuerza restauradora: F_e = -k·(x + x₀) = -19.6·20·10^-2 = -3.92 N. Siendo x la distancia a la posición de equilibrio del muelle con el objeto colgado L₀ + x₀ + x = 55·10^-2 m => x = 10·10^-2 m. Observa que, en este caso, el sentido - indica que la fuerza va hacia arriba.

• Fuerza total: Para calcularla,en lugar de hacer la simple diferencia, vamos a considerar el sentido positivo hacia abajo y que, tal y como hemos visto en la primera parte de este problema, $k·x_0=m·g$ ,nos queda:

  $$F_t=-k(x_0+x)+m·g=-k·x_0-k·x+m·g=-\cancel{m·g}-k·x+\cancel{m·g}=-k·x$$

  Con esto, sustituyendo, tenemos:

  $$F_t=-k·x=-19.6·10·{10}^{-2}=\boxed{-1.96 \text{N}}$$

Como puedes observar, la direfencia F_t = P + F_e = -k·x, que sería la fuerza restauradora que aparecería en un muelle hipotético cuya posición de equilibrio fuese la de nuestro muelle con el objeto colgado.