Desfase en m.a.s. a partir de gráficas

Datos

Los datos del problema están implicitos en la gráfica.

Consideraciones previas

Existen dos expresiones posibles para la ecuación de un movimiento armónico simple. En funcion del seno o en función del coseno. Para determinar el desfase lo mejor es expresar las dos de igual manera.

Vamos a utilizar el coseno. Recordemos la representación de la función $f\left(x\right)=\cos \left(\alpha \right)$  es:

Resolución

A partir de la gráfica podemos obtener las magnitudes de cada movimiento:

• Amplitud: A = 4 cm
• Periodo: T = 4 s
• Frecuencia f= 1/T = 0.25 Hz
• Pulsación o frecuencia angular ω : ω = 2·π·f = 0.5·π rad/s

La expresión será de la forma.

• 1: $x_1=4·\cos \left(0.5·\pi ·t+{\phi }_{01}\right)\text{cm}$ 
• 2: $x_2=4·\cos \left(0.5·\pi ·t+{\phi }_{02}\right)\text{cm}$ 

Nos queda determinar la fase inicial de cada una. Lo hacemos a partir del valor en t = 0. 

• $x_1\left(0\right)=0\Rightarrow 0=4·\cos \left(0+{\phi }_{01}\right)\Rightarrow {\phi }_{01}=\pm \frac{\pi }{2}\text{rad}$  Tomando la gráfica del coseno como referencia la gráfica del coseno, el desplazamiento debe ser hacia la izquierda para obtener la gráfica del movimiento  => ${\phi }_{01}=\frac{\pi }{2}\text{rad}$ 
• $x_2\left(0\right)=-4\Rightarrow -4=4·\cos \left(0+{\phi }_{01}\right)\Rightarrow {\phi }_{02}=\pi \text{rad}$En este caso no hay que hacer ningún desplazamiento extra ya que sólo existe un arco cuyo coseno es -1

Finalmente el desfase se puede calcular como la diferencia de fase entre una señal y otra en cualquier instante. Para simplificar los cálculos tomamos el instante t = 0

$$∆{\phi }_{1,2}={\phi }_1-{\phi }_2={\phi }_{01}-{\phi }_{02}=\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$$