Caída libre en un pozo

Datos

t = 1.5 s
v_sonido = 340 m/s
g = 9.8 m/s2
H = ?
 

Resolución

Vamos a considerar dos partes en este ejercicio:

• Parte 1. La piedra desciende hasta impactar con el agua del fondo del pozo
• Parte 2. El sonido avanza desde el agua hasta la superficie del pozo.

Si llamamos t₁ al tiempo en que tarda en caer la piedra y t₂ el tiempo que tarda en subir el sonido desde el fondo del pozo, tenemos que:

$$t=t_1+t_2$$

Estudiaremos cada una de las partes por separado:

Parte1

Aplicando la ecuación de posición del movimiento en caída libre y sabiendo que en el instante t₁, la posición de la piedra es y = 0 m:

$$\begin{gathered} y=H-\frac{1}{2}·g·t^2 \Rightarrow \\ 0=H-0.5·9.8·{t_1}^2 \Rightarrow \\ \underline{H=4.9·{t_1}^2} \end{gathered}$$

Parte 2

El sonido asciende con velocidad constante, y suponemos que en línea recta. Por tanto:

$$\begin{gathered} x=v·t \Rightarrow \\ H=v_{sonido}·t_2 \Rightarrow \\ \underline{H=340·t_2} \end{gathered}$$

Si igualamos H en ambas ecuaciones y sabiendo que t=t₁+t₂:

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{r}4.9·{t_1}^2=340·t_2\\ 1.5=t_1+t_2\end{array}\right\} \Rightarrow \\ \left.\begin{array}{r}4.9·{t_1}^2-340·t_2=0\\ t_2=1.5-t_1\end{array}\right\} \Rightarrow \\ 4.9·{t_1}^2-340·\left(1.5-t_1\right)=0 \Rightarrow \\ 4.9·{t_1}^2+340·t_1-510=0 \Rightarrow \\ {t}_1=\frac{-340\pm \sqrt{{340}^2-4·4.9·(-510)}}{2·4.9} \Rightarrow \\ \underline{t_1=1.47 s ;\hspace{0.17em}}\cancel{t_2=-70.857 s} \end{gathered}$$

Sustituyendo ahora t₁ en la ecuación de la parte 1:

$$\begin{gathered} H=4.9·{\left(1.47\right)}^2 \Rightarrow \\ \boxed{H=10.59 m} \end{gathered}$$