Suma de los términos extremos en una progresión aritmética

En todas las progresiones aritméticas dado que cada término excepto el primero es la suma del anterior más un valor llamado diferencia (d) se cumple que:

a₁ + a_n = a₂ + d + a_n-1 - d = a₃ + 2·d + a_n-2 - 2·d = ...

En nuestro caso, la progresión aritmética tiene un número impar de términos. Esto implica que n (en el último término a_n) es un número impar, por lo que podemos decir que n = 2·t-1. Si hacemos esto, da igual el valor que tenga t (t>1) que siempre n será impar y nuestra progresión tendrá siempre la forma:

a₁, ..., a_t, ... a_2·t-1

Donde a_t es el término central y a₁ y a_2t-1 son los términos extremos. Si ahora sustituimos las sumas que vimos en la primera expresión:

a₁ + a_2·t-1 = a₂ + d + a_2·t-2 - d = a₃ + 2·d + a_2·t-3 - 2·d = ...

De forma general, cuando lleguemos al término central a_t tendremos que:

a₁ + a_2·t-1 = a_t + d · (t-1) + a_t - d · (t-1) ;

a₁ + a_2·t-1 = a_{t +} a_t

De ahí tenemos que:

a₁ + a_2·t-1 = 34 + 34;

a₁ + a_2·t-1 = 68