Enunciado

dificultad

Se sitúan 15 L de gas ideal en un recipiente a 27 ºC. El recipiente cuenta con un pistón móvil libre de rozamiento. La presión en el exterior se mantiene constante a 750 mmHg. Determina, si se eleva la temperatura a 190 ºC:

  1. El trabajo realizado en el proceso
  2. La variación de energía interna que tiene lugar
  3. El calor transferido durante el mismo
  4. Representa el proceso en un diagrama presión - volumen ( p - V )

Datos : cv = 5·R/2 ; R = 8.31 J/ mol·K 

Solución

Datos

  • Volumen inicial Vi = 15 L = 15·10-3 m3
  • Temperatura inicial Ti = 27 ºC = 300.15 K
  • Temperatura final Tf = 190 ºC = 463.15 K
  • Presión constante p = 750 mmHg = 750·101325/760 = 99991.77 Pa
  • Calor específico a volumen constante cv = 5·R/2
  • Constante universal de los gases ideales R = 8.31 J/ mol·K

Consideraciones previas

Resolución

1.

En los procesos a presión constante el trabajo termodinámico, según el criterio de signos establecido, viene dado por la expresión:

Para determinar el volumen final podemos aplicar la ecuación de estado de los gases ideales, de la siguiente manera:

La expresión anterior constituye la ley de Charles y Gay-Lussac. A partir de ella, nos queda:

Y volviendo a la expresión del trabajo termodinámico nos queda:

2.

Presta atención a este apartado por que vamos a utilizar una serie de conceptos que debes tener claros. En primer lugar, la variación de energía interna en un gas depende únicamente de la variación de temperatura. En el diagrama p - V de la figura puedes ver representadas las dos isotermas características del proceso.

  • Isoterma en rojo: es la de aquellos puntos genéricos ( V , p ) que se corresponden con una temperatura de 27 ºC. A todos ellos les corresponde una determinada energía interna del sistema
  • Isoterma en azul: es la de aquellos puntos genéricos ( V , p ) que se corresponden con una temperatura de 190 ºC. A todos ellos les corresponde una determinada energía interna del sistema

En el proceso, al variar la temperatura varía la energía interna, es decir, nos desplazamos de una isoterma a otra realizando un determinado trabajo y transfiriendo un determinado calor. Independientemente de la forma en que nos desplacemos de una isoterma a otra (esto es, la cantidad de calor y trabajo que intervenga en el proceso), la variación de energía interna dependerá unicamente de la isoterma inicial y la isoterma final. Es por ello que, dado que nos dan como dato cv (calor específico a volumen constante), estudiaremos la variación de energía interna suponiendo un proceso isocórico ( a volumen constante ) donde el volumen no cambia y, por tanto, el desplazamiento de una isoterma a otra se realizaría exclusivamente mediante el intercambio de calor, al ser el trabajo realizado cero ( W = 0 ) . De esta forma, nos queda:

Por otro lado, dado que nos dan cv referida a cantidad de sustancia ( mol ), utilizaremos, para el cálculo del calor, la expresión:

Observa que ya habíamos presentado en teoría dicha expresión al hablar de la variación de energía interna de un gas cuando se incrementa la temperatura.

Para el cálculo de n aplicamos de nuevo la ecuación de estado de los gases ideales:

 

Finalmente, volviendo a la ecuación de la variación de energía interna en un proceso isocórico, tenemos:

En la siguiente figura se representa el proceso que tendría lugar a volumen constante y que nos sirve para determinar la variación de energía interna también en nuestro proceso a presión constante. 

 

3.

Podemos aplicar la primera ley de la termodinámica para determinar el calor transferido en el proceso. Ten en cuenta que, tal y como hemos dicho en el punto 2, la variación de energía interna es igual a la que se experimenta en el proceso a volumen constante ya que las temperaturas inicial y final son las mismas:

 

4.