Enunciado
Las diagonales de un palalelogramo se cruzan formando un ángulo de 65º. Halla los lados y los ángulos del paralelogramo sabiendo que las diagonales miden 10 cm y 20 cm.
Solución
Consideraciones previas
Un palalelogramo es una figura geométrica de 4 lados, iguales y paralelos 2 a 2. En la siguiente imagen tenemos el paralelogramo de nuestro ejercicio.
Paralelogramo a resolver
En el paralelogramo de la figura, la diagonal AC mediría 20cm y la diagonal BD 10cm.
Resolución
Considerando la mitad de las diagonales, podemos estudiar el triángulo ADO. Conocemos dos lados (A0 = 10cm, D0=5cm ). Podemos hallar el tercero por el teorema del coseno:
Al tratarse de un palalelogramo AD=BC=12.93cm. Conocidos 3 lados y un ángulo del triángulo izquierdo del paralelogramo ADO, que es análogo al derecho BCO, podemos determinar los ángulos restantes.
Aplicando el teorema del seno, nos queda:
Podemos calcular fácilmente β sabiendo que la suma de los 3 lados de un triángulo debe resultar 180º. Por tanto: β=180-115-20.51=44.48º
Podemos repetir el razonamiento con el triángulo inferior.
Volvemos a aplicar el teorema del coseno, quedando esta vez:
Como se trata de un palalelogramo, AB=DC=9.09cm. Por otro lado, aplicando el teorema del seno podemos calcular α':
Sólo nos resta conocer β'. De nuevo, la suma de los tres lados del triángulo deben ser 180º, con lo que β'=180-65-29.9=85.1º. El resultado final se refleja en la siguiente imagen.