Enunciado

dificultad

Las diagonales de un palalelogramo se cruzan formando un ángulo de 65º. Halla los lados y los ángulos del paralelogramo sabiendo que las diagonales miden 10 cm y 20 cm.


Solución

Consideraciones previas

Un palalelogramo es una figura geométrica de 4 lados, iguales y paralelos 2 a 2. En la siguiente imagen tenemos el paralelogramo de nuestro ejercicio.

Paralelogramo a resolver

En el paralelogramo de la figura, la diagonal AC mediría 20cm y la diagonal BD 10cm.

Resolución

Considerando la mitad de las diagonales, podemos estudiar el triángulo ADO. Conocemos dos lados (A0 = 10cm, D0=5cm ). Podemos hallar el tercero por el teorema del coseno:

Al tratarse de un palalelogramo AD=BC=12.93cm. Conocidos 3 lados y un ángulo del triángulo izquierdo del paralelogramo ADO, que es análogo al derecho BCO, podemos determinar los ángulos restantes.

Datos conocidos

  • AD=12.93cm
  • DO=5cm
  • AO=10cm

Aplicando el teorema del seno, nos queda:

º

Podemos calcular fácilmente β sabiendo que la suma de los 3 lados de un triángulo debe resultar 180º. Por tanto: β=180-115-20.51=44.48º

Podemos repetir el razonamiento con el triángulo inferior.

Datos conocidos

  • γ' puede ser obtenida fácilmente. Observa que 115+γ'=180º, con lo que γ'=65º
  • AO=10cm
  • BO=5cm

Volvemos a aplicar el teorema del coseno, quedando esta vez:

Como se trata de un palalelogramo, AB=DC=9.09cm. Por otro lado, aplicando el teorema del seno podemos calcular α':

º

Sólo nos resta conocer β'. De nuevo, la suma de los tres lados del triángulo deben ser 180º, con lo que β'=180-65-29.9=85.1º. El resultado final se refleja en la siguiente imagen.

Resultado final

  • αT=α+α'=20.51+29.9=50.41º
  • βT=β+β'=44.48+85.1=129.58º
  • AD=BC=12.93cm
  • AB=DC=9.09cm