La elipse se define como una línea curva cerrada tal que la suma de las distancias a dos puntos fijos, F y F' , llamados focos, es constante.

Elipse

Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la suma de las distancias desde cualquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos denominados focos (F y F') es siempre la misma.

Ten en cuenta que para cualquier punto de la elipse siempre se cumple que:

Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P al foco F y al foco F' respectivamente.

Elementos de la elipse

Los siguientes elementos se encuentran en cada elipse:

  1. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de simetría.
  2. Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría.
  3. Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatríz del segmento que une los focos.
  4. Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes.
  5. Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c.
  6. Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c.
  7. Semieje mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a.
  8. Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b y cumple   
  9. Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x , y) se cumple que d(P , F) = a -e·x y d(P, F') = a+e·x

Ecuación de la elipse

Ecuación de eje mayor horizontal centrada en un punto cualquiera P(x0,y0)

La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal viene dada por:

Donde:

  • x0 , y0 :  Coordenadas x e y del centro de la elipse
  • a : Semieje de abcisas
  • b : Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b ⩽ a.
Ejemplo

Determina la ecuación de la elipse horizontal centrada en el origen cuyo eje mayor horizontal mide 10 y su distancia focal mide 6.

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Ecuación de eje mayor vertical centrada en un punto cualquiera P(x0,y0)

La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es vertical viene dada por:

Donde:

  • x0 , y0 :  Coordenadas x e y del centro de la elipse
  • a : Semieje de abcisas
  • b : Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b > a.
Ejemplo

Determinar la ecuación de una elipse de eje mayor vertical centrada en el punto P(-1,2) y cuyos ejes miden 20 y 16.

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Excentricidad

La excentricidad nos permite conocer lo alejados que están los focos del centro de la elipse.

Observa que 0 < e < 1. Cuando e ≈ 0 los focos se superponen y la elipse es una circunferencia.

Ejemplo

Dada la siguiente ecuación de una elipse determina su excentricidad.

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