La trigonometría es el estudio de los triángulos, estos es, de las relaciones entre los ángulos y los lados que los componen. En este apartado vamos a estudiar las razones trigonométricas de ángulos agudos (menores de 90º o π/2 rad) a través de los siguientes puntos:
Si ya estás familiarizado con estas ideas, te recomendamos que visites el apartado sobre las razones trigonométricas de cualquier ángulo.
¿Empezemos?
Cuando hablamos de razón nos estamos refiriendo, en este caso, a una división. Como vamos a ver, las razones trigonométricas relacionan lados y ángulos a través de una división.
Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
A partir de cualquier ángulo agudo α (menor de 90º) es posible construir un triángulo rectángulo ABC como el que puedes apreciar en la siguiente figura.
Triángulo rectángulo
Cualquier triángulo rectángulo posee dos ángulos agudos y uno recto.
Teniendo en cuenta dicha figura geométrica y los ángulos formados en cada uno de sus vértices es posible obtener una serie de razones que reciben el nombre de razones trigonométricas conocidas como seno, coseno, tangente, cosecante y cotangente.
Seno
El seno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto (c) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como sen(α) o sin(α).
Definición de seno de un ángulo
Podemos encontrar el valor del seno de un ángulo dividiendo el cateto opuesto a dicho ángulo entre la hipotenusa del triángulo rectángulo. Ten presente que el cateto opuesto es aquel que está "frente" al ángulo (no "toca" el ángulo).
Coseno
El coseno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo (b) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como cos(α).
Definición de coseno de un ángulo
Podemos encontrar el valor del coseno de un ángulo dividiendo el cateto contiguo a dicho ángulo entre la hipotenusa del triángulo rectángulo. Ten presente que el cateto contigo es aquel que está "adyacente" al ángulo (toca al ángulo por uno de sus extremos). Recuerda, como regla mnemotécnica, "coseno=contiguo".
Tangente
La tangente de un ángulo agudo α es el cociente entre el seno y el coseno o, dicho de otra manera, la longitud del cateto opuesto al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como tg(α) o tan(α).
Definición de tangente de un ángulo
Podemos encontrar el valor de la tangente de un ángulo dividiendo el seno entre el coseno de dicho ángulo o, dicho de otra manera, dividiendo el cateto opuesto entre el contiguo a dicho ángulo.
Demostración
De las definiciones anteriores es posible deducir que:
Demostración:
El seno, el coseno y la tangente son las razones trigonométricas principales. El resto, como vamos a ver, se pueden obtener simplemente haciendo el valor inverso de estas, de ahí que se llamen usualmente razones inversas. Como se trata del inverso multiplicativo o recíproco (inverso respecto a la operación de multiplicación), también se suelen llamar razones recíprocas. Existe una regla mnemotécnica que puede ayudarte a recordar las razones principales: SOH-CAH-TOA. Efectivamente, se trata de Seno Opuesto Hipotenusa - Coseno Adyacente Hipotenusa - Tangente Opuesto Adyacente
Cosecante
La cosecante de un ángulo agudo α es la relación inversa o recíproca del seno, es decir el cociente entre la longitud de la hipotenusa (a) y la longitud del cateto opuesto al ángulo (c). Se representa como cosec(α) o csc(α).
Secante
La secante de un ángulo agudo α es la relación inversa o recíproca del coseno es decir, el cociente entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto contiguo al ángulo (b). Se representa como sec(α).
Cotangente
La cotangente de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como cotg(α) o cot(α).
En el apartado siguiente de nuestro tema vamos a estudiar el valor de las razones trigonométricas para ángulos de 30º, 45º y 60º
Una cuestión de notación: Recuerda que sin2(α)=(sin(α))2, cosn(α)=(cos(α))n, y lo mismo para el resto de razones.
Propiedades de las razones trigonométricas
Dado que se trata de un ángulo agudo ( 0 < α < 90º ) podemos deducir que:
¿Sabrías decir por qué? Efectivamente, dado que en el seno y en el coseno se divide entre la hipotenusa, y este es el lado mayor, siempre mayor que los catetos, el cociente será siempre menor que 1.
En general, si no nos restringimos a ángulos agudos, tenemos que:
Volveremos a ello cuando estudiemos las razones trigonométricas de cualquier ángulo.
Identidad fundamental de la trigonometría
A partir del teorema de Pitágoras podemos deducir lo que se conoce como identidad pitagórica:
Demostración:
Si dividimos la identidad pitagórica por cos2(α) obtenemos que:
Demostración:
Por otro lado, si dividimos la identidad pitagórica por sin2(α) obtenemos que:
Demostración:
Recuerda que dos triángulos son semejantes cuando:
- Los ángulos son iguales
- Los lados homólogos son proporcionales
En triángulos semejantes se define la razón de semejanza como el cociente entre las longitudes de lados homólogos (los están en el mismo "sitio", es decir, entre los mismos ángulos).
Calculadora
Podemos calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo agudo (y de cualquier ángulo, en general) con nuestra calculadora. Tenemos para ello las teclas:
: Para el cálculo del seno. La palabra sin es del inglés sinus (seno), aunque en algunas calculadoras tienes directamente sen : Para el cálculo del coseno : Para el cálculo de la tangente
Es muy importante que sepas como la calculadora va a interpretar el ángulo que estás poniendo. Así, si tienes tu calculadora configurada en grados sexagesimales probablemente verás en la línea superior y en pequeñito la letra D (del inglés degree). Significa que cuando pongas, por ejemplo sin(30), la calculadora resolverá sin(30º)=0.5. En cambio, si tienes tu calculadora configurada en radianes (apareciendo en la línea superior y en pequeñito la letra R de radianes), y pones sin(30) la calculadora resolverá sin(30 rad)=-0.988.
También puedes utilizar la calculadora para recorrer el camino inverso, es decir, obtener el valor del ángulo cuya razón conoces. Por ejemplo, sabiendo que sin(α)=0.5 es posible usar la calculadora para obtener α=30º. Volveremos a ello cuando estudiemos las razones trigonométricas de cualquier ángulo.