Como determinar si dos rectas son perpendiculares

Dos rectas, r y s, se dice que son perpendiculares ( ) si sus vectores directores  y  son perpendiculares ( ) o sus pendientes  y  son inversas y cambiadas de signo ( ).

Rectas perpendiculares

En la figura se muestran dos rectas r y s:

Ambas son perpendiculares ya que se cumple que:

Recuerda que cuando las rectas se encuentran expresadas en forma general ( ) la pendiente se puede obtener fácilmente mediante el cociente de las variables A y B de la ecuación general. Así mismo, cuando se encuentra en forma vectorial, paramétrica o continua puede ser útil obtenerla mediante el cociente de las componentes del vector director.

Dos rectas r y s son perpendiculares si se cumple:

donde:

  •  y  son las pendientes de r y s respectivamente.
  •  y  son vectores directores de r y s respectivamente.
Ejemplo

Determina si las ecuaciones de las rectas r ≡ 4x  + 2y + 3 = 0 y s ≡ 4x - 8y + 5 = 0 son perpendiculares. 

Ver solución

Cálculo de una recta perpendicular a otra dada

Como hemos visto anteriormente, cuando disponemos de dos rectas expresadas en su ecuación general:

podemos determinar facilmente si ambas son perpendiculares comprobando que se cumple la siguiente ecuación:

Observa que el hecho de que dos rectas sean perpendiculares depende de los coeficientes A, B, A' y B' de la ecuación general de sus rectas, nunca de C ni C'. Esto nos permite determinar que siempre que A=-B' y B=A' ambas rectas serán perpendiculares independientemente del valor de C y C'.

Si las ecuaciones generales de dos rectas r y s tienen la siguiente forma, ambas son perpendiculares:

Ejemplo

Dada la ecuación de la recta 7x - 4y + 1 = 0, determina otra recta distinta que sea perpendicular a ella.

Ver solución

Rectas perpendiculares al eje OX

Cualquier recta r que sea perpendicular al eje OX tiene la forma:

Rectas perpendiculares al eje OY

Cualquier recta r que sea perpendicular al eje OY tiene la forma:

Y ahora... ¡Ponte a prueba!