El teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor medio de Lagrange, de ahí que en ocasiones se le llame teorema del valor medio generalizado, y establece que:
- Sean dos funciones contínuas en un intervalo [a,b]...
- ...que son derivables en su interior (a,b), es decir, no presentan puntos angulosos...
...entonces podemos afirmar que existe un valor c∈(a, b) que verifica que:
En el caso de que g(b)≠g(a) y g'(c)≠0 podemos escribir:
Es decir, el cociente de las derivadas en el algún punto intermedio c es igual al cociente de las diferencias en los extremos del intervalo (a, b) considerado.
Cuando g(x)=x el teorema del valor medio de Cauchy queda reducido al teorema del valor medio de Lagrange.
Demostración
Partiremos de una función auxiliar h(x) en la que podremos aplicar el teorema de Rolle:
Observa que dicha función tiene igual valor en x=a y en x=b:
Además, es continua en [a, b] y derivable en (a, b), por ser suma/resta de funciones continuas/derivables, con lo que por el teorema de Rolle podemos afirmar que existirá un c en dicho intervalo en el que h'(c)=0:
O, pasando todo al mismo miembro...
...que es justo lo que queríamos demostrar.
Aunque este teorema no nos va a ser de particular utilidad para resolver los ejercicios propios de este nivel educativo, sí que nos va a servir para demostrar la regla de L'Hôpital.