Continuidad de Funciones

Intuitivamente decimos que una función es contínua cuando podemos dibujarla con un sólo trazo del lápiz, es decir, sin levantar este del papel.

Discontinuidad

Las gráficas de la figura son discontínuas en el punto x=a, y lo son por distintas razones. Las gráficas de 1 presentan asíntotas verticales (ramas infinitas) en x=a. Las de 2 presentan un salto finito en x=a. Las gráficas de 3 no tienen definido f(a), o, teniéndolo definido (caso de la derecha), no coincide con el valor en el entorno del mismo. En todos los casos resulta imposible dibujar las gráficas con un sólo trazo del lápiz, con lo que no son funciones continuas.

Aunque esta idea es una buena aproximación cuando estudiamos funciones a partir de sus gráficas, no es suficientemente precisa. En este apartado vamos a profundizar en el estudio de la continuidad de las funciones a través de los siguientes puntos:

• Continuidad en un punto
• Continuidad en un intervalo abierto
• Continuidad en un intervalo cerrado
• Tipos de discontinuidad
• Propiedades

¿Preparado para continuar?

Continuidad en un punto

Si observas con detenimiento los distintos puntos de las gráficas anteriores en los que las funciones sí son contínuas y los comparas con los puntos de discontinuidad te percatarás de que:

Observa que la condición $f\left(a\right)=\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$, implica, en realidad, tres condiciones:

1. La función está definida en x=a: $\exists f\left(a\right)$
2. Existe el límite, y es finito: $\exists \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)\in \mathrm{ℝ}$. Esta condición implica que los límites laterales coinciden: $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)$
3. Finalmente, que los dos valores anteriores coinciden

Como ves, que una función sea continúa en un punto implica que la función está definida en el punto y en un entorno del mismo. Aunque queda fuera del alcance de este nivel, podemos dar una definición formal basándonos en estas dos ideas:

Continuidad local

En 1, elementos de la definición formal de continuidad en un punto. Para cualquier ε que escojas, radio del entorno de f(a) (zona de fondo azul), se puede encontrar un entorno de a con radio δ (fondo verde), que tiene todas sus imágenes en el interior del primer entorno. Esto no ocurre así si la función no es continua. De manera que, en 2, a partir de un entorno de f(a) (limitado de nuevo por f(a)+ε y f(a)+ε), podemos encontrar elementos (x₀) en el correspondiente entorno de a que no tienen sus imágenes en el entorno señalado de f(a).

En realidad, la segunda condición se asemeja bastante a la propia definición formal de límite en un punto.

Continuidad en un intervalo abierto

La definición anterior es aplicable a los intervalos infinitos. Así, las funciones elementales que estudiamos normalmente, definidas por una sola expresión analítica, como por ejemplo, f(x)=3x²+3, f(x)=cos(x) ó $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ son continuas en todo su dominio.

Continuidad en intervalo abierto (a,b)

A la izquierda, en 1, la función es continua en todos los puntos del intervalo abierto (a,b). Por ello decimos que es continua en el intervalo. A la derecha, en 2, la función presenta un punto de discontinuidad en x=c, con lo que decimos que la función no es continua en dicho intervalo. Por otro lado, recuerda que para definir la continuidad en un punto es necesario que la función esté definida en un entorno del propio intervalo. Observa, en 1, que cualquier punto de los reales perteneciente a un intervalo abierto tiene un entorno contenido en el propio intervalo, incluso los puntos próximos a los extremos. Así, el punto a+0.01, muy próximo al extremo inferior a tiene un entorno en el propio intervalo (a,b) que nos permite aplicar la definición de continuidad. Si lo piensas, esto ocurre para cualquier valor concreto próximo a los extremos del intervalo.

Funciones a trozos

Como hemos dicho, las funciones habituales definidas por una sola expresión analítica son continuas en todos los puntos en los que están definidas. Por el contrario, las funciones definidas a trozos pueden presentar discontinuidades en los puntos de cambio de rama.

Ejemplo

La función $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}x& \text{si}& x\le 0\\ 1+x& \text{si}& 0<x\le 3\\ x^2-5& \text{si}& x>3\end{array}\right.$, formada por 3 ramas continuas, no es contínua en x=0, pero lo es en x=3. Empezando por la continuidad en x=0:

$$\begin{array}{c}f\left(0\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=0\\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=1\end{array}\Rightarrow \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)\Rightarrow f\left(x\right) \text{no es continua en }x=0$$

Sin embargo, en x=3:

$$\begin{array}{c}f\left(3\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=4\\ \underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=4\end{array}\Rightarrow \underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)\Rightarrow f\left(x\right) \text{es continua en }x=3$$

Continuidad en un intervalo cerrado

A diferencia de lo que ocurría con los intervalos abiertos, no siempre es posible encontrar un entorno en los extremos de los intervalos cerrados que permita aplicar la definición de continuidad tal cual ha sido presentada: de hecho, solo tiene sentido plantear la continuidad por la derecha en el extremo inferior del intervalo, y la continuidad por la izquierda en el extremo superior. De ahí que:

Continuidad en intervalo cerrado [a,b]

A la izquierda, en 1, la función es continua en todos los puntos del intervalo abierto (a,b) contenido en [a,b]. Además, es continua por la derecha de a y por la izquierda de b, con lo que decimos que f(x) es continua en [a, b]. A la derecha, aunque la función es también continua en (a,b), sin embargo no lo es por la izquierda de b (pues ∄f(b)), con lo que la función no es continua en [a, b].

Tipos de discontinuidad

Una función se dice que es discontinua en un punto cuando no es continua en él. Para clasificar los distintos tipos de discontinuidad atenderemos, principalmente, a dos criterios: la función en el punto y el límite de la función en el punto. Aunque existe cierta disparidad a la hora de nombrar cada tipo de discontinuidad, lo importante es que tengas claro cómo es cada tipo de gráfica según los criterios utilizados:

• Discontinuidad evitable

  Se produce cuando existe el límite en el punto, y es finito, pero la función no está definida en él o, estándolo, tiene un valor distinto. Precisamente por eso se llama evitable: bastaría añadir o cambiar solo un punto para que la función fuese continua. Así pues

  $$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{.} \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=k \\ \mathbf{2}\mathbf{.} \nexists f\left(a\right)\text{ ó }f\left(a\right)\ne k \end{gathered}$$

  

  Discontinuidad evitable

  Dos casos posibles de discontinuidad evitable. A la izquierda, en 1, existe el límite (k) pero no la función en a, lo cual se indica por el punto blanco en el trazado de la misma. A la derecha, en 2, la función está definida en a, pero no coincide con el valor del límite, k.

  Es habitual encontrar el primer caso en funciones racionales con raíces comunes en numerador y denominador (indeterminaciones del tipo 0/0), por ejemplo $f\left(x\right)=\frac{x^2-3x}{x-3}$ mientras que para el segundo es necesario acudir a las funciones a trozos, por ejemplo, $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}x& \text{si}& x\ne 3\\ 0& \text{si}& x=3\end{array}\right.$ en x=3.

• Discontinuidad inevitable

  También conocida como discontinuidad esencial, se da cuando no existe el límite por no coincidir los límites laterales, o existiendo no es un valor finito. Podemos distinguir dos casos:

  • De salto finito

    Los límites laterales existen y son finitos, pero distintos. Es indiferente si la función está definida en el punto o no.

    $$\begin{array}{r}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=k\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=l\end{array} \text{ con} k\ne l \text{y} k,l\in \mathrm{ℝ}$$

    

    Discontinuidad de salto finito

    Las gráficas de la figura son discontínuas en el punto x=a. Ambas presentan una discontinuidad de salto finito en él. En la gráfica de la función izquierda, la función está definida en el punto a pero no así en la de la derecha. La característica de este tipo de discontinuidad es que los límites laterales son finitos y distintos.

    Este tipo de discontinuidad es propia de funciones a trozos, y se da en los puntos de cambio de rama, por ejemplo, $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}x& \text{si}& x\le 0\\ x^2+1& \text{si}& x>0\end{array}\right.$ en x=0.

  • De salto infinito

    En este caso, al menos uno de los límites laterales es infinito. Este tipo de discontinuidades dan lugar a asíntotas verticales, por lo que también se llaman asintóticas.

    $$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty \text{y/o} \underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$$

    

    Discontinuidad de salto infinito

    Las gráficas de la figura son discontínuas en el punto x=a. Presentan una discontinuidad asintótica o de salto infinito. En la gráfica de la función izquierda, los límites laterales son distintos, y por tanto, estrictamente hablando, $\nexists \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$ (aunque,como sabes, se suele decir que $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\infty$). En la función de la derecha sólo es infinito uno de los límites laterales, el derecho. La característica de este tipo de discontinuidades es que al menos uno de los límites laterales es infinito.

    Este tipo de discontinuidad es propia de funciones con asíntotas. Es el caso, por ejemplo, de funciones racionales con denominadores que se anulan que dan lugar a indeterminaciones del tipo k/0, como pueda ser f(x)=1/x en x=0.

Aunque la clasificación anterior es más suficiente para las funciones que estudiaremos en este nivel educativo, algunos autores profundizan en las discontinuidades inevitables (esenciales), distinguiendo:

• Discontinuidades inevitables
  • De primera especie (ya presentadas)
    • De salto finito
    • De salto infinito
  • De segunda especie

Caracterizadas estas últimas porque al menos uno de los límites laterales no existe.

Discontinuidad de segunda especie

Las gráficas de la figura presentan una discontinuidad de segunda especie en el punto x=a. En la función de la izquierda no existe el límite lateral derecho, al no estar definida la función más allá de x=a. Es indiferente si existe o no f(a). En la gráfica de la función de la derecha no existe el límite izquierdo ni el derecho. Corresponde a una función de tipo f(x)=sin(1/x). La característica de las discontinuidades de segunda especie es que no existe al menos uno de los límites laterales.

Propiedades

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a. Se cumplen las siguientes propiedades:

• La suma de funciones continuas en a es continua en a

  $$\left.\begin{array}{r}f\left(x\right) \text{es contínua en} a\\ g\left(x\right) \text{es contínua en} a\end{array}\right\}f\left(x\right)+g\left(x\right) \text{es continua en} x=a$$

• El producto de funciones continuas en a es continuo en a

  $$\left.\begin{array}{r}f\left(x\right) \text{es contínua en} a\\ g\left(x\right) \text{es contínua en} a\end{array}\right\}f\left(x\right)·g\left(x\right) \text{es continua en} x=a$$

• El cociente de funciones continuas en a es continuo en a, siempre que no se anule el denominador

  $$\left.\begin{array}{c}f\left(x\right) \text{es contínua en} a\\ g\left(x\right) \text{es contínua en} a\\ g\left(a\right)\ne 0\end{array}\right\}f\left(x\right)/g\left(x\right) \text{es continua en} x=a$$

Por otro lado, sea f(x) continua en a y g(x) continua en f(a), entonces la función compuesta (g∘f)(x) es continua en a:

$$\left.\begin{array}{r}f\left(x\right) \text{es contínua en} a\\ g\left(x\right) \text{es contínua en} f\left(a\right)\end{array}\right\}\left(g\circ f\right)\left(x\right) \text{es continua en} x=a$$

Hay tres consecuencias inmediatas de estas propiedades:

• Las funciones polinómicas son continuas en ℝ

  Justificación: La función constante f(x)=k es continua en ℝ. La función identidad f(x)=x también lo es. Un monomio puede ser considerado un producto de funciones identidad con una función constante, que también será continuo en ℝ por estar formado por el producto de varias funciones continuas. Así, por ejemplo f(x)=3·x⁴=3·x·x·x·x. Finalmente, un polinomio es la suma de varios monomios, y por tanto también será continua en ℝ.

• Las funciones racionales son continuas en su dominio, es decir, en todos los puntos que no anulen el denominador

• Las funciones compuestas son continuas en su dominio

  Así pues, cualquier función que pueda ser expresada como composición de otras funciones continuas será continua en su dominio. Por ejemplo, la función $f\left(x\right)=\sqrt{1-x}$ es una función irracional, y es continua en su dominio [0,1], ya que puede ser expresada como la composición de dos funciones continuas:

  $$\left.\begin{array}{r}g\left(x\right)=\sqrt{x}\\ h\left(x\right)=1-x\end{array}\right\}f\left(x\right)=\left(g\circ h\right)\left(x\right)=g\left[h\left(x\right)\right]=\sqrt{1-x}\hspace{0.17em}$$