Expresión analítica en funciones trigonométricas a partir de gráfica

Consideraciones previas

Las tres funciones tienen forma sinusoidal, por ello se podrán escribir según:

O bien...

Consulta el apartado vinculado para conocer el significado de A, B y C

Por otro lado, nos fijamos que en el eje horizontal cada cuadro corresponde a π/3, y en el vertical a 1 unidadad.

Finalmente, recuerda que las funciones sinusoidales son periódicas, y por tanto podemos describir una misma gráfica con distintas expresiones analíticas. Veamos.

Resolución

Comenzamos por al función en rojo. Vemos que oscila entre -2 y 2. Utilizando el seno para describirla, la amplitud A sería 2. Por otro lado, vemos como toma 3 cuadros a la función en completar medio ciclo, y 6 en hacer uno completo. Como cada cuadro tiene una longitud horizontal de π/3, esto significa que T=6·π/3=. El parámetro B que acompaña a la x, en física denominado frecuencia angular, es justamente B=2·π/T=1.

Vemos que f(x)=2·sin(x) se asemeja a la función representada (C=0). También podríamos escribir, por ejemplo, f(x)=2·cos(-x+π/2), ya que sin(algo)=cos(-algo+π/2).

Pasamos a la fución en azul. Vemos que es muy similar a la anterior, pero con una frecuencia mayor. Concretamente utiliza solo 2 cuadros para hacer un ciclo completo. Esto significa que T=2·π/3, y por tanto B=2π/(2π/3)=3. Por otro lado, tiene la misma amplitud que la roja, y podría ser descrita según f(x)=2·sin(3·x).

En relación a la función verde, vemos que se asemeja bastante a la forma de un coseno, pues alcanza su valor máximo en x=0. Utilizaremos la forma de f(x)=A·cos(B·x+C) para describirla. Además, dado que oscila entre -1 y 3, se trata de un coseno desplado. Su amplitud es A=(3-(-1))/2=2. Vemos que su ciclo es de 6 cuadros, por tanto, al igual que sucedía con la función roja, T=2π, y B=1. Con estas ideas podemos escribir f(x)=2·cos(x)+1.

Finalmente, la función naranja, que es igual a la anterior pero desplazada hacia la derecha π/3. Podríamos escribir f(x)=2·cos(x-π/3)+1. También f(x)=2·cos(x-π/3+2π)+1=f(x)=2·cos(x+5π/3)+1 y así sucesivamente, debido a la periodicidad.