Ecuaciones y Gráficas del Movimiento Armónico Simple

Cuando una partícula se mueve según un movimiento armónico simple (m.a.s) aparecen las mismas magnitudes cinemáticas que en cualquier tipo de movimiento, es decir, la posición, la velocidad y la aceleración. En este apartado veremos:

• La posición y la gráfica de posición - tiempo en un oscilador armónico
• Su velocidad y su gráfica de velocidad - tiempo
• La aceleración del m.a.s. y la gráfica aceleración - tiempo
• Graficamente, la relación que guardan las magnitudes cinemáticas entre sí

Adicionalmente, puede que te interese conocer:

• El concepto de movimiento armónico simple u oscilador armónico

No olvides que dichas magnitudes son, en general, magnitudes vectoriales. Sin embargo, en este apartado, dado que el m.a.s. se desarrolla en una sola dimensión, podremos utilizar el convenio de signos en movimientos rectilíneos habitual. 

Posición

La posición de una partícula que sigue un movimiento armónico simple ( m.a.s.), también denominada elongación, viene determinada por la distancia x a la posición de equilibrio. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m). Se trata de una función sinusoidal (seno o coseno), que depende del tiempo x = f(t).

Ecuación de posición

Donde:

• A: Amplitud máxima del movimiento. Representa la distancia máxima a la posición de equilibrio. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m)
• f: Frecuencia del movimiento. Es el número de oscilaciones o vibraciones que se producen en un segundo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Hertzio (Hz). 1 Hz = 1 oscilación / segundo = 1 s^-1.
• T: Periodo del movimiento. El tiempo que tarda en cumplirse una oscilación completa. Es la inversa de la frecuencia T = 1/f . Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el segundo (s).
• $\omega$ : Frecuencia angular o pulsación. Representa el número de periodos comprendidos en 2·π segundos. Su unidad de medida en el sistema internacional es el radián por segundo ( rad/s ). Se encuentra relacionada con la frecuencia y el periodo del movimiento según $\omega =\frac{2·\pi }{T}=2·\pi ·f$  
• ${\phi }_0$  y $\phi {\text{'}}_0$ : Fase inicial. Se trata del ángulo que representa el estado inicial de vibración, es decir, la posición x del cuerpo en el instante t = 0. Su valor depende de si has elegido un seno o un coseno para representar el movimiento. $\phi {\text{'}}_0={\phi }_0-\pi /2$ Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el radián (rad) .

Para cualquier instante t se cumple que $x\left(t\right)=x(t+T)$ .

Gráfica de posición x - t

Velocidad

La velocidad instantánea determina la variación de posición que tiene el cuerpo en cada instante de tiempo t. Se define como la derivada de la posición respecto al tiempo.

$$v=\frac{dx}{dt}$$ 

Para obtener la expresión de la velocidad hemos de tener en cuenta que dependerá de si expresamos la posición como seno o como coseno:

• $v=\frac{d}{dt}(A·\sin \left(\omega ·t+{\phi }_0\right))=A·\omega ·\cos \left(\omega ·t+{\phi }_0\right)$
• $v=\frac{d}{dt}(A·\cos \left(\omega ·t+\phi {\text{'}}_0\right))=-A·\omega ·\sin \left(\omega ·t+\phi {\text{'}}_0\right)$

Ecuación de velocidad

Para cualquier instante t se cumple que $v\left(t\right)=v(t+T)$ .

Gráfica de velocidad v - t

La velocidad es máxima cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio y mínima en los extremos de la trayectoria del movimiento (+A y -A).

Relación posición - velocidad (x - v)

Podemos relacionar la posición y la velocidad en un movimiento armónico simple a través de la expresión:

Comprobación

La idea principal es poder hacer uso de la relación trigonométrica: ${\sin }^2\left(\alpha \right)+{\cos }^2\left(\alpha \right)=1$ 

$$\left.\begin{array}{r}x·\omega =A·\omega ·\sin \left(\omega ·t+{\phi }_0\right)\\ v\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}A·\omega ·\cos \left(\omega ·t+{\phi }_0\right)\end{array}\right\}{\left(x·\omega \right)}^2+v^2={\left(A·\omega \right)}^2·\left(\underset{1}{\underbrace{{\sin }^2\left(\omega ·t+{\phi }_0\right)+{\cos }^2\left(\omega ·t+{\phi }_0\right)}}\right)$$

$${\left(x·\omega \right)}^2+v^2={\left(A·\omega \right)}^2\Rightarrow \boxed{v=\pm \omega ·\sqrt{A^2-x^2}}$$

Aceleración

La aceleración instantánea determina la variación de velocidad que tiene el cuerpo en cada instante de tiempo t. Se define como la derivada de la velocidad respecto al tiempo.

$$a=\frac{dv}{dt}$$ 

Para obtener la expresión de la aceleración hemos de tener en cuenta que dependerá de si expresamos la posición como seno o como coseno:

• $a=\frac{d^2}{d{t}^2}(A·\sin \left(\omega ·t+{\phi }_0\right))=\frac{d}{dt}(A·\omega ·\cos \left(\omega ·t+{\phi }_0\right))=-A·{\omega }^2·\sin \left(\omega ·t+{\phi }_0\right)$
• $a=\frac{d^2}{d{t}^2}(A·\cos \left(\omega ·t+\phi {\text{'}}_0\right))=\frac{d}{dt}(-A·\omega ·\sin \left(\omega ·t+\phi {\text{'}}_0\right))=-A·{\omega }^2·\cos \left(\omega ·t+\phi {\text{'}}_0\right)$

Ecuación de aceleración

Para cualquier instante t se cumple que $a\left(t\right)=a(t+T)$ .

Gráfica de aceleración a - t

La aceleración es máxima en los extremos de la trayectoria (+A y -A) y mínima cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio.

Relación posición - aceleración (x - a)

Podemos relacionar la posición y la aceleración en un movimiento armónico simple a través de la expresión:

Comprobación

Para deducir la fórmula que relaciona posición y aceleración, simplemente tenemos que percatarnos que podemos obtener la expresión de la aceleración $a=-A·{\omega }^2·\sin \left(\omega ·t+{\phi }_0\right)$  multiplicando la expresión de la posición $x=A·\sin \left(\omega ·t+{\phi }_0\right)$  por un factor de $-{\omega }^2$ .

Gráficas del m.a.s.

En el siguiente Experimenta y aprende puedes ver las gráficas del movimiento armónico simple. Observa la relación que guardan entre sí las magnitudes cinemáticas y con los parámetros que definen el comportamiento del m.a.s.