Enunciado
En este problema te pedimos que relaciones cada una de las siguientes expresiones analíticas con sus posibles gráficas, en cada una de las cuales hemos señalado un único valor (xi,yi) para orientarte.
Solución
Consideraciones previas
Una vez hemos estudiado los distintos tipos de funciones más características, y sus formas habituales, podemos hacer uso de todo ello para identificar funciones a partir de su gráfica, como se nos pide en este ejercicio. Dado que todas las funciones involucran la función seno o coseno, conviene recordar que el valor de estas oscila entre -1 y 1. En el caso de que estén elevadas al cuadrado, lo harán en consecuencia entre 0 y 1. Veamos la manera en que podemos razonar.
Resolución
Podemos comenzar por las funciones 1 y 3 de la gráfica. Se trata de funciones con una forma sinusoidal, que va creciendo. En lugar de estar acotadas en [-1, 1], los máximos y los mínimos se van haciendo cada vez mayores. Ese es justamente el efecto conseguido si multiplicamos x·sin(x) o (-x)·sin(x). De ahí que las funciones candidatas a asociarse sean justamente f(x)=x·sin(x) y f(x)=|x|·sin(x).
Como ves, la parte positiva x>0 es igual en ambas. Aquellos valores en los que el seno tomaba el valor 1, ahora se encuentran en y=x. La clave para diferenciarlas está en la parte negativa. En la función f(x)=x·sin(x) los valores que multiplican a sin(x) son negativos para x<0, y por tanto se produce una inversión en el eje x del seno, como si de un espejo se tratase. En definitiva, podemos identificar f(x)=x·sin(x) con la gráfica 1.
Análogamente, si consideramos f(x)=|x|·sin(x), los valores que multiplican a sin(x) son positivos para x<0 y el sin(x) oscila sin cambios de fase. En definitiva, podemos identificar f(x)=|x|·sin(x) con la gráfica 3.
En cuanto a las gráficas 2 y 4, ambas son muy similares. Podríamos asociar directamente la gráfica 2 con f(x)=cos2(x), a partir de la frecuncia. Observa que cos(π)=-1, y por tanto cos2(π)=1, tal y como corresponde al valor señalado. Por descarte, entonces, diríamos que la gráfica 4 corresponde a .
Sin embargo, si queremos profundizar un poco en por qué ambas gráficas son tan similares, recordamos que, al presentar las identidades trigonométricas, habíamos estudiado que . Como ves, la parte derecha se parece bastante a la función .