Enunciado

dificultad

Sabiendo que el potencial gravitatorio de cierta masa puntual varía en el espacio en función de la distancia r según V(r) = -3·10-7/r J/kg, determina:

  • La masa que genera el campo
  • La intensidad de campo gravitatorio en función de las coordenadas cartesianas x,y y z

Solución

Datos

  • Potencial en función de la distancia: V(r) = -3·10-7/r J/kg

Resolución

Sabemos que la expresión general del potencial gravitatorio producido por una masa puntual viene dada por V(r) = -G·m/r, por lo que podemos identificar con la expresión proporcionada según:

Por otro lado, podemos obtener la intensidad del campo gravitatorio a partir del potencial de acuerdo a través del gradiente:

 

El problema es que tenemos V en función de la distancia r, pero no de x,y y z. Sin embargo sabemos que el módulo del vector de posición es precisamente la distancia, por lo que:

 

A través de la relación señalada obtenemos el vector intensidad de campo. Comenzamos con la componente x, considerando las componentes y y z constantes para la derivación:

Siguiendo un razonamiento similar para las componentes y y z nos queda:

Quedando finalmente la expresión del vector intensidad de campo gravitatorio: