Monotonía a partir de gráfica de la derivada

Consideraciones previas

Podemos determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función a partir del signo de su derivada. Además, aquellos puntos en los que la derivada sea 0 son puntos singulares, candidatos a máximos o mínimos según el signo a la izquierda y a la derecha de f'(x).

Resolución

La función f(x) será decreciente en aquellos intervalos en los que f'(x) sea negativa, esto es: (0, 2) y (7, ∞).

La función f(x) es creciente en el intervalo (2, 7) por ser su derivada mayor que cero.

En x=2 la función f(x) presenta un mínimo, al ser f'(2)=0 y ser negativa por la izquierda ( f'(2^-)>0 ) y positiva por la derecha ( f'(2⁺)<0 ).

En x=7 la función f(x) presenta un máximo, al ser f'(7)=0 y ser positiva por la izquierda ( f'(2^-)>0 ) y negativa por la derecha ( f'(2⁺)>0 ).