Optimización de Funciones

Optimizar una función consiste en buscar los valores que la hacen máxima o mínima, según nuestras necesidades, es decir, consiste en encontrar los valores que la maximizan o la minimizan.

Aplicaciones de la optimización de funciones

A nivel práctico existen numerosos tipos de problemas en los que aplicar las técnicas de optimización que vamos a enseñarte. Por ejemplo, problemas económicos, físicos o geométricos en los que hay que hacer máximo (o mínimo) unos beneficios, un tiempo, o un volumen... Así pues, en la función roja de la gráfica, el punto verde marca su mínimo en le intervalo [a, b]. Optimizar la función (minimizarla en este caso), sería encontrar el valor de la variable independiente que corresponde a dicho punto verde. En general, la dificultad radica en encontrar la expresión analítica exacta de la función que queremos optimizar. ¿Estás preparado?

Pasos

1. Plantea la ecuación que quieres hacer máxima o mínima. En general, se tratará de una función que depende de varias variables.

   Por ejemplo, si se trata de maximizar el área o superficie de un rectángulo construído con un alambre de longitud 20cm, la función a maximizar será precisamente la superficie del rectángulo, es decir S=b·a, siendo b la base del mismo, y a su altura.

2. Busca las relaciones entre las variables de la función a optimizar, si es que hay más de una variable en ella, a fin de dejarla únicamente como función de una variable

   Por ejemplo, en le caso anterior sabemos que el alambre tiene longitud 20cm, con lo que el perímetro del rectángulo será 20, es decir 2b+2a=20. Despejando a obtenemos a=10-b, y sustituyendo en la ecuación a optimizar nos queda S=b·(10-b), que también podemos escribir como S(b)=10b-b².

3. Se buscan los extremos de la función en el intervalo considerado.

   Por ejemplo, sabiendo que la superficie debe ser siempre un número mayor o igual que 0, tenemos S(b)>0⇒10b-b²>0. Resolviendo dicha inecuación nos queda el intervalo considerado: b∈(0,10). Los extremos de la función se encontrarán entre los extremos del intervalo y los puntos críticos que sean máximos o mínimos. Veamos:
   • S(0)=0
   • S(10)=0
   • S'(b)=10-2b=0⇒b=5⇒S(5)=25
   Podemos ver claramente que el máximo es b=5.

   

   Candidatos a extremos absolutos

   Recuerda que una función que no presente asíntotas en un intervalo cerrado [x₁, x₂] puede tener sus extremos absolutos en:

   • Los extremos del intervalo
   • Los extremos relativos del mismo

   Recuerda, así mismo, que los extremos relativos se encuentran entre los puntos críticos de la función:

   • Puntos que anulan la primera derivada
   • Puntos en los que la función no es derivable