Enunciado
Determina el valor de los parámetros b y c en la siguiente parábola (polinomio de grado 2) para que la función tenga un extremo en (1,3) .
Solución
Consideraciones previas
Cuando nos dicen que la función tiene un extremo en (1,3) en realidad me están dando una información doble:
- La función pasa por (1, 3) , es decir, f(1)=3
- La primera derivada de la función en 1 vale cero, es decir, f'(1)=0
Resolución
En primer lugar, calculamos la expresión de la derivada:
A partir de las dos consideraciones qu hemos hecho anteriormente podemos obtener un sistema:
Por tanto, la función buscada es f(x)=x2-2x+4. Observa que se trata de una parábola con las ramas hacia arriba, con lo que en x=1 lo que hay es necesariamente un mínimo. La tabla de signos de la derivada así lo indica:
La función es decreciente en el intervalo (-∞, 1) y creciente en (1, ∞), con lo que x=1 es, efectivamente, un mínimo.