Enunciado

dificultad

Determina los coeficientes indicados en cada función a partir de los puntos notables y características señaladas:

  1. f(x)=x3+ax2+bx+c corta al eje de abscisas en x=0 y tiene un punto de inflexión en (3,1)
  2. f(x)=a·x3+bx2+cx+d corta al eje de ordenadas en y=1, tiene un extremo relativo en x=-1, tiene un punto de inflexión en x=-1/6 y su recta tangente en x=1 es paralela a la recta y=2x+3

Solución

Consideraciones previas

Cuando una función corta al eje de abscisas (eje x) en x=k entonces pasa por (k, 0), es decir, cuando la x=k, la coordenada y vale 0.

Cuando una función corta al eje de ordenadas (eje y) en y=k entonces pasa por (0, k), es decir, cuando la x=0, la coordenada y vale k.

Cuando una función tiene un máximo o un mínimo relativo en un punto (xm, ym), entonces se cumple, por un lado, que debe pasar por dicho punto, es decir f(xm)=ym, y además f'(xm)=0. Consulta la teoría asociada a la búsqueda de extremos de una función para saber más.

Cuando la recta tangente a una función en un punto con x=xp es paralela a otra recta dada en la forma y=mx+n, entonces debemos fijarnos en la pendiente de esta última, es decir, m. Como la derivada de una función evaluada en un valor de x nos da la pendiente de la recta tangente de la función original en ese punto, se cumplirá que f'(xp)=m. Consulta la teoría asociada a la búsqueda de la recta tangente para saber más.

Cuando una función tiene un punto de inflexión en (xi, j), se cumple, por un lado, que debe pasar por dicho punto, es decir f(xi)=j, y por otro:

Aunque la información de la tercera derivada no nos sirve para concretar los coeficientes, sí que nos servirá la información extraída de la segunda derivada. Consulta la teoría asociada a la búsqueda de los puntos de inflexión para saber más.

Resolución

1.-

A partir de las consideraciones señaladas anteriormente, tenemos:

Por otro lado...

Buscamos la segunda derivada de f(x) :

Imponiendo la condición del punto de inflexión nos queda:

Volviendo a 9a+3b=-26 nos queda:

La función buscada es...

2.-

En esta ocasión...

  • f'(x)=3ax2+2bx+c

  • f''(x)=6ax+2b

Aplicando las condiciones señaladas obtendríamos...

  1. f(0)=1⇒a·03+b·02+c·0+d⇒d=1

  2. f'(-1)=0⇒3·a-2·b+c=0

  3. f'(1)=2⇒3·a+2·b+c=2

  4. f''(-1/6)=0⇒6·a·(-1/6)+2·b=0

Para resolver el sistema podemos utilizar cualquier método al que estemos habituados. Concretamente nosotros despejaremos b de la ecuación [3], con lo que queda:

Sustituyendo en [2] y en [3], nos queda...

Despejamos a:

Ya estamos en disposición de obtener b a partir de a: b=a/2⇒b=1/2