Recta Tangente y Recta Normal

Una recta se dice que es tangente a una función en un punto cuando pasa por ese punto y su pendiente es f'(a). La recta normal a una función en un punto, por su parte, es la que pasa por dicho punto y tiene pendiente -1/f'(a).

Rectas tangente y normal

En azul, la recta tangente a la función f(x), en rojo, en x=a. En verde, la recta normal a la función en el mismo punto. Observa que ambas son perpendiculares.

Ya sabes que una recta queda definida cuando conocemos dos puntos por los que pasa, pero también cuando conocemos un punto por el que pasa y la pendiente de la misma. En este caso, el punto, común a ambas, es (a,f(a)). Para el cálculo de las pendientes (f'(a) y -1/f'(a) respectivamente) se hace imprescindible conocer el valor de la derivada de la función en el punto.

En este apartado vamos a estudiar y relacionar:

• La expresión de la recta tangente
  • Su relación con la recta secante
• La expresión de la recta normal

¿Estás preparado para empezar?

Expresión de la recta tangente

Demostración

Sabemos que la ecuación de una recta viene dada por y=m·x+n, siendo:

• m la pendiente de la misma
• n es la ordenada en el origen, es decir, donde la recta corta al eje y

Por tanto, para determinar la ecuación de la recta tangente debemos calcular m y n. Por la definición de recta tangente que hemos dado sabemos que:

1. La pendiente de la recta tangente en x=a coincide con el valor de la derivada en x=a, con lo que m=f'(a)
2. La recta 'toca' a la función en el punto, es decir, pasa por (a,f(a)). Sustituyendo en la ecuación genérica de la recta x por a, e y por f(a), nos queda f(a)=m·a+n

Sustituyendo la ecuación de 1 en 2, obtenemos:

$$f\left(a\right)=m·a+n\underset{m=f\text{'}\left(a\right)}{\Rightarrow }f\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)·a+n\Rightarrow n=f\left(a\right)-f\text{'}\left(a\right)·a$$

Ya tenemos por tanto, los valores de m y n que buscábamos. Sustituyendo y reagrupando obtenemos la expresión bucada:

$$y=\underset{m}{\underbrace{f\text{'}\left(a\right)}}·x+\underset{n}{\underbrace{f\left(a\right)-f\text{'}\left(a\right)·a}}\Rightarrow \boxed{y-f\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)·\left(x-a\right)}$$

Relación con la secante

Tal y como veíamos al estudiar la tasa de variación instantánea a partir de la tasa de variación media, una manera alternativa de definir la recta tangente es considerarla como la recta secante que pasa por dos puntos infinitamente próximos de la función.

Rectas secante y recta tangente

En verde hemos pintado la recta secante a la función en dos puntos de abscisas a y a+h. Observa que la pendiente de dicha recta viene determinada por la razón trigonométrica tangente del ángulo β que forma la recta con la horizontal. Efectivamente, $m_{\text{secante}}=\tan \left(\beta \right)=\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$. Cuando aproximamos a+h a a obtenemos la recta secante, en azul. En este caso, su pendiente será $m_{\text{tangente}}=\tan \left(\alpha \right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=f\text{'}\left(a\right)$.

Efectivamente, observa las siguientes gráficas:

Definiciones erróneas de recta tangente

La recta azul, en 1, cumple la definición que dábamos a comienzos del apartado de recta tangente, es decir, pasa por el punto (a,f(a)) y su pendiente es f'(a), con lo que se trata de una recta tangente, a pesar de que toca a la función en más de un punto. Por otro lado, en 2, existen dos rectas que tocan la función en un único punto, la verde y la azul. Sin embargo, ninguna de ellas es la recta tangente porque se trata de un punto anguloso y no existe f'(a).

Expresión de la recta normal

Rectas normal

En verde, la recta normal a la función, representada en rojo claro, en (a,f(a)). Se trata de una recta perpendicular a la recta tangente, representada en azul claro.

Demostración

Siguiendo un procedimiento análogo al de la recta tangente tenemos:

1. La pendiente de la recta normal en x=a es m=-1/f'(a)
2. La recta 'toca' a la función en el punto, es decir, pasa por (a,f(a)). Sustituyendo en la ecuación genérica de la recta x por a, e y por f(a), nos queda f(a)=m·a+n

Sustituyendo la ecuación de 1 en 2, obtenemos:

$$y=\underset{m}{\underbrace{-\frac{1}{f\text{'}\left(a\right)}}}·x+\underset{n}{\underbrace{f\left(a\right)-f\text{'}\left(a\right)·a}}\Rightarrow \boxed{y-f\left(a\right)=-\frac{1}{f\text{'}\left(a\right)}·\left(x-a\right)}$$