Enunciado

dificultad

Determina el ángulo respecto a la horizontal con el que hay que lanzar un balón para que entre a la portería rozando el palo superior, situado a una altura de 2.45 m y a 9 m del punto de lanzamiento. El balón es lanzado a una velocidad de 82 km/h. Ten en cuenta que el balón debe encontrarse en el punto más alto de su trayectoria para que entre rozando el palo superior de la portería.

Solución

Datos

  • Valor de la velocidad inicial del movimiento v0 = 82 km/h = 22.78 m/s
  • Altura de la portería (altura final) y = 2.45 m
  • Distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y la portería (distancia final) x = 9 m

Consideraciones previas

  • Se trata de un movimiento parabólico. El movimiento parabólico es una composición de dos movimientos:

  • El vector velocidad inicial se puede escribir como:

      es justamente el ángulo pedido

  • El balón entra en la portería en el punto más alto de la trayectoria, es decir, cuando vy = 0

  • Consideramos el valor de la gravedad g = 9.8 m/s2

Resolución

La ecuación de posición en el movimiento parabólico viene dada por la expresión:

 

El vector velocidad viene dado por la expresión

 

Cuando el balón entra por la portería se cumple que:

Si igualamos las expresiones de la ecuación de posición y de velocidad a los vectores anteriores, podemos utilizar la componente y de la velocidad vy y la componente x del vector de posición rx para determinar el ángulo de lanzamiento:

Ahora es necesario que recordemos la siguiente igualdad trigonométrica para poder resolver la ecuación:

 

A partir de ella resolvemos: