Enunciado

dificultad

Es posible determinar la altura de un objeto, sin medirlo directamente, a partir de la longitud de su sombra, y de una vara de longitud conocida. Para plantearte este ejercicio vamos a estudiar el enigma que los sacerdotes del antiguo Egipto formularon a Tales de Mileto:

¿Sabrías decir la altura de la pirámide de Keops?

Para descubrirla Tales midió la longitud de la sombra de la pirámide a una determinada hora del día, 55.3 m. Además, clavó en el suelo a esa misma hora su bastón, de 1.32m y vió que proyectaba una sombra de 0.5m. Con estos datos, ¿qué altura tenía la pirámide?

Solución

Datos

  • Longitud de la sombra de la pirámide: lsombra pirámide=55.3m
  • Longitud de la sombra de la vara lsombra vara=0.5m
  • Altura de la vara hvara=1.32m
  • Altura de la pirámide hpirámide = ?

Consideraciones previas

Resulta de utilidad hacer una representación de la situación.

Calcula de altura a partir de triángulos semejantes

A cualquier hora del día podemos considerar que los rayos de sol que llegan a dos objetos suficientemente próximos son paralelos. Así pues, los dos triángulos formados por la pirámide y el bastón, sus respectivas sombras y los rayos de sol, son semejantes. La forma más inmediata de verificarlo es comprobar que los tres ángulos son iguales (recuerda verificar los criterios de semejanza si te quedan dudas al respecto). Hemos representado estos triángulos en rojo y en naranja, indicando todas las magnitudes sobre ellos.

Se trata pues de resolver la altura del triángulo rojo. Ten presente que es posible utilizar este método para calcular la altura de cualquier objeto, como un árbol o un edificio, sin tener que medirlo directamente.

Resolución

Cuando dos triángulos son semejantes, entre ellos aparece una razón de semejanza k tal que:

Siendo a, b y c, los lados de un triángulo y a', b' y c' los lados homólogos de su triángulo semejante. Aplicando esto a nuestro caso, nos queda:

á á á á

Por tanto, la altura de la pirámide era de, aproximadamente, 146m.