Triángulos Semejantes

En geometría, dos figuras son semejantes cuando su forma es la misma, sin importar su tamaño. Trasladando esta sencilla idea a los triángulos, podemos definir la semejanza entre triángulos.

Figuras semejantes

Las figuras de la izquierda y de la derecha son semejantes, al guardar las mismas proporciones. Cuando el desarrollo de los gráficos por ordenador no era tan extendido como lo es hoy en día se solían construir maquetas de pequeñas dimensiones con todo lujo de detalles. De ellas se valían los directores de películas para simular zonas que, de otra manera, no podían filmar. Esta técnica también se utilizaba en películas como Them!, ganadora de un premio Oscar a los mejores efectos especiales, para simular la llegada a la Tierra de hormigas gigantes.

Para conocer las matemáticas básicas que gobiernan el trabajo con figuras semejantes haremos uso de una de las más sencillas: el triángulo. En este apartado vamos a estudiar:

• Definición de semejanza de triángulos
• Criterios para identificar triángulos semejantes
  • En triángulos rectángulos
• El perímetro de triángulos semejantes
• El área de triángulos semejantes
• El primer teorema de Tales, en el contexto de los triángulos

¿Preparado para convertirte en una auténtica "bestia" de las figuras semejantes?

Semejanza de triángulos

Triángulos semejantes

Los dos triángulos de la figura son semejantes. Llamamos lados o ángulos homólogos a aquellos que ocupan la posición equivalente en las dos figuras. Hemos pintado los lados homólogos y los ángulos homólogos de cada triángulo del mismo color.

Como puedes observar, se cumplen las dos condiciones señaladas: los ángulos homólogos son iguales, y los lados homólogos son proporcionales.

Criterios de semejanza

Para saber si dos triángulos son semejantes, basta comprobar una cualquiera de las siguientes afirmaciones:

1. Tienen los tres lados proporcionales
2. Tienen dos ángulos iguales (y por tanto el tercero, ya que entre los 3 siempre deben sumar 180º)
3. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos igual

Triángulos rectángulos

Los criterios se simplifican cuando el triángulo es rectángulo (tiene un ángulo de 90º). Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando podemos comprobar una cualquiera de las siguientes afirmaciones:

1. Tienen los dos catetos proporcionales
2. Tienen un cateto y la hipotenusa proporcionales
3. Tiene un ángulo distinto del ángulo de 90º igual

La orientación en los triángulos semejantes

Aunque a primera vista puede que no lo veas claro, los dos triángulos de la figura son semejantes. Observa que sus ángulos son iguales, y que los lados que abarca cada ángulo son proporcionales. Es decir, los triángulos semejantes no tienen por qué estar dispuestos espacialmente con la misma orientación.

Perímetro

Comprobación

Efectivamente:

$$\frac{{\text{Perímetro}}_1}{{\text{Perímetro}}_2}=\frac{a+b+c}{a\text{'}+b\text{'}+c\text{'}}=\frac{k·a\text{'}+k·b\text{'}+k·c\text{'}}{a\text{'}+b\text{'}+c\text{'}}=\frac{k·\cancel{\left(a\text{'}+b\text{'}+c\text{'}\right)}}{\cancel{a\text{'}+b\text{'}+c\text{'}}}=k$$

Área

Comprobación

En dos triángulos semejantes se cumple que la proporción entre las alturas h y h' también es la razón de semejanza, es decir:

$$h=k·h\text{'}$$

De esta manera se cumple:

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{b·h/\cancel{2}}{b\text{'}·h\text{'}/\cancel{2}}=\frac{b·h}{b\text{'}·h\text{'}}=\frac{\left(k·\cancel{b\text{'}}\right)·\left(k·\cancel{h\text{'}}\right)}{\cancel{b\text{'}·h\text{'}}}=k^2$$

Primer teorema de Tales

Podemos enunciar el teorema de la siguiente manera.

A partir de esta sencilla afirmación, y de la existencia de una razón de semejanza en triángulos semejantes, existe una importante aplicación.

Aclaramos esta idea con una imagen.

Aplicación del primer teorema de Tales

Observa el triángulo de lados abc de la figura. Hemos trazado una recta paralela al lado b, la recta b', dando lugar al triángulo de lados a'b'c'. Ambos triángulos son semejantes, por el teorema de Tales. Además se cumple que las proporciones entre los lados de un mismo triángulo se mantienen.

Ten presente que si, en lugar de a la izquierda, hubiéramos trazado una paralela a b a su derecha, el triángulo obtenido (prolongando los lados a y c) también sería semejante al original.

Como veremos en un apartado posterior, esta es la razón por la que en un triángulo rectángulo las razones de un ángulo no dependen del tamaño del mismo.