Sistemas de ecuaciones trigonométricas

Consideraciones previas

Visita el apartado teórico de ecuaciones trigonométricas para ver algunas estrategias de resolución generales.

Resolución

1.-

Este sistema es un candidato formidable para empezar haciendo un cambio de variable t=sin(x) y v=cos(y):

2.-

Podemos utilizar la expresión del seno del ángulo mitad sobre la primera ecuación para dejarlo en función de x, en lugar de x/2:

Y sustituyendo en la segunda ecuación, nos queda:

Aplicamos la identidad fundamental de la trigonometría quedando:

Para resolver dicha ecuación podemos hacer un cambio de variable t=sin(y):

Donde hemos descartado la solución t₁ porque el seno no puede ser menor que -1. Podemos solucionar de manera directa:

Ahora podemos obtener el valor de x:

Siendo cualquiera de ellas una solución válida.

3.-

En primer lugar, observa que se trata de ángulos complementarios, al ser tan(x)=1/tan(y), con lo que x+y=90. De otro lado, en los ángulos complementarios se cumple que cos(x)=sin(y), con lo que podemos reescribir la segunda ecuación:

Que podemos resolver de manera directa...

Por tanto, podemos calcular x teniendo en cuenta que son complementarios: