Ecuaciones Trigonométricas

Las ecuaciones trigonométricas son aquellas en las que las incógnitas son ángulos que forman parte del argumento de una o varias razones trigonométricas. Dado que se trata de ángulos, tienen infinitas soluciones que pueden pertenecer a uno o dos cuadrantes como máximo. 

Estrategias de resolución

En este nivel educativo normalmente partimos de una igualdad en la que pueden aparecer distintas razones trigonométricas (por ejemplo senos y cosenos) y/o distintos argumentos (por ejemplo sin(x) y cos(2x)). El objetivo que debemos perseguir es llegar a una o varias igualdades sencillas que permitan una resolución directa. Por ejemplo:

$$\cos \left(3x\right)=\cos \left(60\right)\Rightarrow 3x=60\Rightarrow x=20\Rightarrow x=20+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Para ello nos valemos de las identidades trigonométricas y algunas relaciones. Recuerda algunas ques son clave:

• Podemos cambiar senos por cosenos y cosenos por senos modificando sus argumentos a través de la relación:

  $$\begin{array}{c}\sin \left(\alpha \right)=\cos \left(90-\alpha \right)\\ \cos \left(\alpha \right)=\sin \left(90-\alpha \right)\end{array}$$

• Podemos utilizar las definiciones de tangente y de las razones inversas
• Podemos utilizar la identidad fundamental de la trigonometría sin²(x)+cos²(x)=1 para convertir senos cuadrados en cosenos cuadrados y viceversa

• Podemos transformar sumas en productos (y viceversa)

• Podemos también transformar los argumentos, a través de las identidades de ángulo doble y ángulo mitad. Ten presente que siempre puedes considerar un ángulo cualquiera α como el doble de α/2, y el mitad de 2α

Las transformaciones conducirán a:

• Una ecuación con resolución directa, como la ya indicada cos(3x)=cos(60)

• Una ecuación para resolución mediante cambio de variable. Por ejemplo, llegamos a:

  $$2{\sin }^2\left(x\right)-\sin \left(x\right)-2=0\underset{\sin \left(x\right)=t}{\Rightarrow }2t^2-t-2=0$$

  Para cada valor de t=t_i resolveríamos la ecuación directa sin(x)=t_i como posible solución a la ecuación trigonométrica

• Una ecuación que es un producto de expresiones trigonométricas más sencillas igualado a cero. Por ejemplo:

  $$\sin \left(x\right)·\left(2{\cos }^2\left(x\right)-1\right)=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sin \left(x\right)=0\\ 2{\cos }^2\left(x\right)-1=0\end{array}\right.$$

  Cada una de las cuales podemos resolver de manera directa

Finalmente, ten presente que es posible que en una ecuación trigonométrica acabes obteniendo valores extraños, por ejemplo cos x = 3. Obviamente, no existe ningún valor de x que satisfaga dicha igualdad, puesto que el coseno de un ángulo siempre oscila entre -1 y 1.

Es muy importante que consultes los ejercicios asociados a este apartado para practicar. Solo la práctica te hará dominar las técnicas que te hemos propuesto.

Sistemas

También es posible que encuentres ecuaciones trigonométricas en forma de sistemas. Para resolverlos también buscamos obtener varias ecuaciones que permitan una resolución directa. Suele ser útil:

• Despejar una razón en una de las ecuaciones, y sustituirla en la otra, para así tener una única incógnita. Por ejemplo:

  $$\left\{\begin{array}{l}{\sin }^3\left(5x\right)-\sin \left(y\right)=0\\ {\sin }^3\left(5x\right)+\cos \left(y\right)=1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\sin }^3\left(5x\right)=\sin \left(y\right)\\ \boxed{\sin \left(y\right)+\cos \left(y\right)=1}\end{array}\right.$$

  Que es una ecuación trigonométrica de una sóla incógnita

• Hacer cambios de variable para resolver un sistema sin ecuaciones trigonométricas. Por ejemplo:

  $$\left\{\begin{array}{l}2\sin \left(x\right)+3\cos \left(y\right)=4\\ 20\sin \left(x\right)-40\cos \left(y\right)=-30\end{array}\right.\underset{\begin{array}{c}t=\sin \left(x\right)\\ v=\cos \left(y\right)\end{array}}{\Rightarrow }\left\{\begin{array}{l}2t+3v=4\\ 20t-40v=-30\end{array}\right.$$

  Una vez obtenidos t y v puedes resolver las ecuaciones trigonométricas directas

Además es bueno que recuerdes algunas expresiones que relacionan las tangentes:

• En ángulos complementarios tan(α)=1/tan(β), con lo que α+β=90
• En ángulos que se diferencia 90º tan(α)=-1/tan(β), con lo que α-β=90
• En ángulos que se diferencia 180º tan(α)=tan(β), con lo que α=β

Consulta los ejercicios asociados al tema para ver ejemplos concretos.