Centro de Masas

El centro de masas representa el punto que tenemos que estudiar cuando, en lugar de una partícula puntual, tenemos un cuerpo real, formado por varias de ellas. En este apartado estudiaremos:

• Para qué se usa el centro de masas
• Su posición
• Su velocidad
• Su aceleración
• Su momento lineal
• Las diferencias que podemos encontrar respecto al centro de gravedad

Adicionalmente, puede que te interese profundizar en el concepto de sólido rígido.

El centro de masas

Cuando un cuerpo se encuentra en movimiento, por ejemplo, al lanzar un lápiz al aire, todas sus partículas se mueven a la vez, aunque con distintas trayectorias. Para caracterizar la traslación del lápiz en su conjunto, sin embargo, nos basta con estudiar qué ocurre en un solo punto del mismo: su centro de masas. Este será el que determine su velocidad, su trayectoria, etc.

Recuerda que en dinámica podemos usar el modelo del sólido rígido, frente al de partícula puntual, cuando las dimensiones del cuerpo que estamos estudiando no son despreciables frente a la trayectoria que describe. En este apartado vamos a estudiar las magnitudes cinemáticas y dinámicas referidas al centro de masas de un sólido rígido discreto, es decir, aquel en el que se pueden distinguir las partículas que lo componen.

Posición

Si conocemos la posición de cada partícula del sólido, podemos determinar la de su centro de masas.

Observa que en un espacio en tres dimensiones podemos escribir:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{r}}_{\mathrm{CM}}=x_{\mathrm{CM}}·\overrightarrow{i}+y_{\mathrm{CM}}·\overrightarrow{j}+z_{\mathrm{CM}}·\overrightarrow{k} \\ {x}_{\mathrm{CM}}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i·x_i}}{m_{\mathrm{total}}} ; y_{\mathrm{CM}}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i·y_i}}{m_{\mathrm{total}}} ; z_{\mathrm{CM}}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i·z_i}}{m_{\mathrm{total}}} \end{gathered}$$

Velocidad

La velocidad instantánea, o simplemente velocidad, del centro de masas se puede obtener derivando respecto al tiempo la expresión de su posición

Aceleración

La aceleración instantánea, o simplemente aceleración, del centro de masas se puede obtener derivando respecto al tiempo la expresión de su velocidad

Momento lineal

En el sólido rígido existen dos tipos de fuerzas:

1. Fuerzas internas de cohesión de las partículas. Hacen que el sólido se mantenga rígido en todo momento
2. Fuerzas exteriores. De existir, son las responsables de que el cuerpo en su conjunto varíe su estado de reposo o movimiento. Pueden actuar sobre cualquiera de sus partículas y sus efectos se sentirán sobre todo el cuerpo

De acuerdo a la segunda ley de Newton,  la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es proporcional a la variación de su momento lineal. Pues bien, en el caso del sólido rígido discreto, dicho principio se aplica a la resultante de las fuerzas exteriores, pues las fuerzas interiores de cohesión de las partículas se anulan dos a dos, por la tercera ley de Newton.

Este teorema reduce el estudio del movimiento de un sistema de partículas al de una sola, concentrada en su centro de masas. Se trata, no obstante, de una descripción parcial, ya que describe el movimiento de traslación del sólido, de su centro de masas, pero no dice nada acerca del movimiento de las partículas respecto de dicho centro, es decir, de la rotación del cuerpo.

Por otro lado, podemos relacionar el momento lineal de cada partícula que compone el sistema con el momento lineal del centro de masas.

Comprobaciónes

Si derivamos la posición del centro de masas respecto al tiempo, para obtener la velocidad del movimiento, nos queda:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{v}}_{\mathrm{CM}}=\frac{d{\overrightarrow{r}}_{\mathrm{CM}}}{dt}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i·\frac{d{\overrightarrow{r}}_i}{dt}}}{m_{\mathrm{total}}}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i·{\overrightarrow{v}}_i}}{m_{\mathrm{total}}}\Rightarrow \\ \Rightarrow m_{\mathrm{total}}·{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{CM}}=\sum _{i=1}^n{m}_i·{\overrightarrow{v}}_i\Rightarrow {\overrightarrow{p}}_{\mathrm{CM}}=\overrightarrow{p} \end{gathered}$$

Donde debes recordar que el momento lineal de un sistema de partículas $\overrightarrow{p}$  es la suma de los momentos de las partículas que lo componen.

Si derivamos ahora nuevamente respecto al tiempo, llegamos a la ecuación fundamental de la dinámica de traslación de un sistema de partículas: 

$$\begin{gathered} m_{\mathrm{total}}·{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{CM}}=\sum _{i=1}^n{m}_i·{\overrightarrow{v}}_i\Rightarrow m_{\mathrm{total}}·\frac{d{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{CM}}}{dt}=\sum _{i=1}^n{m}_i·\frac{d{\overrightarrow{v}}_i}{dt}\Rightarrow \\ \Rightarrow m_{\mathrm{total}}·{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{CM}}=\sum _{i=1}^n{m}_i·{\overrightarrow{a}}_i={\overrightarrow{F}}_{\mathrm{ext}}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\frac{d{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{CM}}}{dt} \end{gathered}$$

Diferencia con el centro de gravedad

El centro de gravedad de un cuerpo es otro punto que se suele utilizar para estudiar el comportamiento de un sistemas de partículas. En concreto, es el punto al que aplicamos el vector peso del sistema, que es la resultante del vector peso de cada una de las partículas. Para que exista centro de gravedad, debe existir un campo gravitatorio. Sino, sólo existe centro de masas.

En general, el centro de gravedad no coincide con el centro de masas por que el campo gravitatorio no es uniforme. Sin embargo, en la mayoría de los problemas que te encontrarás, puedes suponer el campo gravitatorio constante y por tanto los dos puntos coincidirán.

Conclusión

Cuando las dimensiones del cuerpo estudiado son equiparables a las de la trayectoria que describe no podemos considerar el cuerpo como una partícula puntual para describir completamente su movimiento, sin embargo si que podemos describir su movimiento de traslación a partir del estudio de su centro de masas, ignorando las posibles rotaciones o vibraciones de sus infinitas partículas respecto a él.

Finalmente, una puntualización. En este apartado hemos estudiado cómo determinar distintas magnitudes físicas del centro de masas de un sistema formado por varias partículas distinguibles, es decir, que constituyen un sólido rígido discreto. El cálculo para los sólidos rígidos continuos queda fuera del alcance de este nivel.