Impulso Mecánico

El impulso mecánico es la magnitud que usamos en dinámica para relacionar la fuerza aplicada a un cuerpo con el tiempo que dura su aplicación. Nos permite entender, por ejemplo, el mecanismo de despegue de los transbordadores espaciales, pero también por qué los futbolistas suelen colocar el balón detrás de sus cabezas al sacar de banda. En este apartado vamos a estudiarla a través de los siguientes puntos:

• Concepto
• Definición
  • Teorema del impulso mecánico
  • Fuerzas variables
• Gráficas

Toma impulso, que empezamos...

Concepto

¿Te has preguntado alguna vez, por qué los futbolistas, al sacar de banda, se ponen el balón detrás de la cabeza y arquean el cuerpo? Esa postura no aumenta considerablemente el valor de la fuerza con la que lanzan el balón pero, sin embargo, si que permitirá aplicar la misma fuerza al balón durante más tiempo. Los futbolistas hacen lo que denominamos tomar impulso.

Así, parece claro que si queremos dotar de una determinada velocidad a un cuerpo tenemos dos opciones. O aplicamos una fuerza más grande durante un intervalo pequeño de tiempo o una más pequeña durante un intervalo de tiempo mayor. Y es que, cuanto más tiempo se mantenga aplicada una fuerza sobre un cuerpo, mayor velocidad podremos conferirle.

Portero dando impulso al balón

El portero de la figura desplaza el brazo hacia atrás lo máximo posible para comenzar a realizar un movimiento hacia delante que le permita aplicarle la fuerza al balón durante más tiempo. Esto hará que llegue más lejos.

El impulso mecánico es la magnitud que nos permite cuantificar estas ideas. Vamos a definirlo formalmente.

Definición

Observa que, de la definición anterior se deduce que el vector impulso de una fuerza posee la misma dirección y sentido que la fuerza a la que está asociado.

Teorema del impulso mecánico

Teniendo en cuenta que, tal y como hemos visto en la segunda ley de Newton, la variación de la cantidad de movimiento o momento lineal se puede relacionar con la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo según:

$$\overrightarrow{F}=\frac{∆\overrightarrow{p}}{∆t}\Rightarrow \overrightarrow{F}·∆t = ∆\overrightarrow{p}$$

El producto $\overrightarrow{F}·∆t$ es la propia definición que hemos dado para el impulso mecánico, con lo que este queda relacionado con la variación del momento lineal del cuerpo. Se trata del teorema del impulso mecánico.

Observa que la expresión anterior pone de manifiesto la afirmación que hicimos de que para conferir una determinada velocidad a un cuerpo (aumentar su momento lineal) podemos actuar de dos formas: actuar sobre la fuerza o sobre el tiempo durante el cual actúa. Así, en los transbordadores espaciales la nave alcanza la velocidad deseada debido al efecto continuado de la fuerza que proporcionan los propulsores.

Efectivamente, es común que se produzcan ciertas confusiones. Ten presente que, al fin y al cabo, sus ecuaciones de dimensiones son las mismas...

$$\left[I\right]=M·L·T^{-1}$$

...y las unidades de medida en el S.I. son equivalentes...

$$N·s\equiv m·s^{-1}$$

Fuerzas variables

En la definición que hemos hecho de impulso lineal asumimos que la fuerza permanece constante durante el intervalo de tiempo ∆t que actúa. En general esto no es así, sino que la fuerza es variable. Podemos entonces buscar el impulso que actúa sobre un intervalo de tiempo infinitamente pequeño (diferencial). Dicho impulso sería entonces un impulso diferencial, y la fuerza que actuaría sobre dicho intervalo de tiempo si que sería constante. Utilizando notación diferencial nos queda:

$$\boxed{d\overrightarrow{I}=\overrightarrow{F}·dt}$$

Con lo que el impulso transferido durante un intervalo de tiempo finito se obtiene sumando los infinitos impulsos diferenciales, es decir, integrando:

$${\int }_{t_i}^{t_f}d\overrightarrow{I}={\int }_{t_i}^{t_f}\overrightarrow{F}·dt\Rightarrow \boxed{\overrightarrow{I}={\int }_{t_i}^{t_f}\overrightarrow{F}·dt}$$

En cuanto al teorema del impulso, observa que podemos llegar al mismo enunciado ya presentado para fuerzas constantes, considerando esta vez fuerzas variables. Para comprobarlo debemos considerar la versión diferencial de la segunda ley de Newton, es decir, $\overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$ . Así, nos queda:

$$I={\int }_{t_i}^{t_f}\overrightarrow{F}·dt={\int }_{t_i}^{t_f}\frac{d\overrightarrow{p}}{\cancel{dt}}·\cancel{dt}={\int }_{t_i}^{t_f}d\overrightarrow{p}={\left[\overrightarrow{p}\right]}_{t_i}^{t_f}={\overrightarrow{p}}_f-{\overrightarrow{p}}_i=∆\overrightarrow{p}$$

Gráficas de impulso

Es probable que a estas altura de tus estudios ya sepas que la integral definida entre dos valores de una función coincide numéricamente en valor con el área encerrada bajo dicha función. Así, si representamos en el eje horizontal el tiempo y en el eje vertical la fuerza, ya sea constante o variable, el área encerrada bajo la curva entre t_i y t_f coincide con el valor del impulso:

Cálculo de impulso

En la gráfica se representa como varía la fuerza que actúa sobre un cuerpo cualquiera a lo largo del tiempo. El área encerrada bajo la curva entre los instantes t_i y t_f, rayada en rojo, coincide numéricamente con el valor del impulso de dicha fuerza en el intervalo t_f - t_i, y por tanto con el valor de la variación del momento lineal que experimentará el cuerpo sobre el que se aplique en dicho intervalo.

A partir de esta idea, observa que siempre es posible encontrar una fuerza promedio constante cuyo valor de impulso en ese intervalo de tiempo coincida con el de la fuerza variable.

Fuerza media constante

Dado que el área rayada en azul y la rayada en verde son iguales, él área encerrada bajo la curva roja que representa la fuerza real y variable coincide con el área encerrada bajo la curva de la fuerza promedio ${\overrightarrow{F}}_{\text{media}}$, representada en negro. Al tratarse del área de un rectángulo, el cálculo de esta última se reduce a una simple multiplicación ${\overrightarrow{F}}_{\text{media}}·\left(t_f-t_i\right)$, frente al uso de integrales que requeriría la primera.

Por tanto, en la mayoría de los casos y problemas que abordaremos en este nivel, cuando hablemos del impulso de una fuerza nos referiremos a dicha fuerza media supuesta constante.