Operaciones con números complejos en forma binómica

Al igual que ocurre con los números naturales, los enteros o los reales es posible realizar operaciones con los números complejos en forma binómica tales como la suma, resta, multiplicación, etc. A continuación veremos las siguientes operaciones básicas:

• Suma y resta de números complejos
• Producto de números complejos
• Cociente de números complejos
• Potencias de números complejos

Suma y resta de números complejos

Para sumar o restar dos numeros complejos en forma binómica se suman o restan respectivamente y por separado las partes reales e imaginarias.

Producto de números complejos

Para multiplicar dos numeros complejos en forma binómica se multiplican respectivamente la parte real e imaginaria de uno con la parte real e imaginaria del otro.

Cociente de números complejos

Para dividir dos numeros complejos en forma binómica se multiplican numerador y denominador por el conjugado de este último número. De esta forma, obtenemos en el denominador un número real.

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{a+bi}{c+di}·\frac{c-di}{c-di}=\frac{\left(ac+bd\right)+\left(bc-ad\right)}{c^2-{\left(di\right)}^2}=\frac{ ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$$

Potencias de números complejos

Observa que a medida que vayas desarrollando la ecuación obtendrás únicamente potencias de i. Si analizamos estas potencias podemos observar un hecho curioso:

$$\begin{array}{lll}{i}^0=1& i^4=i^3·i=1& i^8=i^7·i=1\\ i^1=i& i^5=i^4·i=i& i^9=i^8·i=i\\ i^2=-1& i^6=i^5·i=-1& i^{10}=i^9·i=-1\\ i^3=i^2·i=-i& i^7=i^6·i=-i& ...\end{array}$$

Como puedes comprobar, los valores 1, i, -1 y -i se repiten sucesivamente. Por esta razón para calcular una potencia n-ésima mayor o igual que 4 de i (iⁿ), podemos obtener una potencia equivalente cuyo exponente se obtiene con el resto de la división de n entre 4.