Equilibrio de fuerzas en una barra

Datos

F₁ = 20 N
F₂ = 30 N
L = 5 m

Suposiciones previas

Dado que F₁ y F₂ tienen el mismo sentido, la fuerza resultante F_R se aplicará en la barra en un área comprendida entre ambas fuerzas,

Si suponemos que F_R se aplica en el origen de coordenadas, tenemos que:

La distancia al origen de F_R es 0 m. d = 0 m.
La distancia al origen de F₁ es d₁.
La distancia al origen de F₂ es d₂.
Dado que F_R está entre F₁ y F₂, se cumple que d₁ + d₂ = 5 

Resolución

La fuerza resultante F_R se obtiene como la suma de las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo. Dado que ambas son paralelas y tienen el mismo sentido se cumple que:

$$\begin{gathered} F_R=F_1+F_2 \Rightarrow \\ {F}_R=20 N + 30 N \Rightarrow \\ \boxed{F_R= 50 N} \end{gathered}$$

Una vez que conocemos su valor, vamos a determinar cual es el punto donde se aplica. Sabemos que la suma de los momentos de ambas fuerzas (M₁ y M₂) debe ser igual al momento de la fuerza resultante (M_R). Además sabemos que cada momento debe ir acompañado de un signo que determina si la fuerza intentar cambiar la velocidad de rotación en el sentido de la agujas del reloj (-) o contrario al sentido de las agujas del reloj (+). De esta forma:

$$\begin{gathered} -M_1+M_2 = M_R \Rightarrow \\ -F_1·d_{1 }+ F_2·d_2 = F_R·d \Rightarrow \\ - 20·d_1+30·d_2 = 0 \end{gathered}$$

Obteniendo esta expresión, podemos determinar el valor de d₁ y d₂ resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\left.\begin{array}{r}- 20·d_1+30·d_2 = 0\\ d_1+d_2 = 5\end{array}\right\}$$

Aplicando el método de sustitución obtenemos que:

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{r}- 20·d_1+30·d_2 = 0\\ d_1+d_2 = 5\end{array}\right\} \Rightarrow \left\{d_1=5-d_2\right\} \Rightarrow \\ -20·\left(5-d_2\right)+30·d_2 = 0 \Rightarrow \\ -100+20·d_2+30·d_2 =0 \Rightarrow \\ {d}_2=\frac{100}{5} \Rightarrow \\ \underline{d_2= 2 m} \\ {d}_1 = 5 -2 \Rightarrow \\ \underline{d_1 = 3 m} \end{gathered}$$