Un cuerpo realiza un movimiento circular uniformemente acelerado (m.c.u.a), también conocido como movmiento circular uniformemente variado (m.c.u.v), cuando su trayectoria es una circunferencia y su aceleración angular es constante. En este apartado vamos a estudiar:
- Las fórmulas que corresponden con este tipo de movimiento
- La relación que guardan las magnitudes lineales con las magnitudes angulares
- Cómo deducir las ecuaciones del m.c.u.a.
Ecuaciones del M.C.U.A.
Las ecuaciones del movimiento circular uniformemente acelerado son las siguientes:
Donde:
- , : Posición angular del cuerpo en el instante estudiado y posición angular del cuerpo en el instante inicial respectivamente. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el radián (rad)
- : Velocidad angular del cuerpo en el instante considerado y en el instante inicial respectivamente. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el radián por segundo (rad/s)
- : Aceleración angular. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el radián por segundo al cuadrado (rad/s2)
- t: Instante de tiempo considerado. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el segundo (s)
Aunque las anteriores son las ecuaciones principales del m.c.u.a. y las únicas necesarias para resolver los ejercicios, en ocasiones resulta útil contar con la siguiente expresión:
La fórmula anterior permite relacionar la velocidad angular y el ángulo recorrido, conocida la aceleración angular y puede ser deducida de las anteriores, tal y como puede verse a continuación.
Puedes recordar fácilmente las ecuaciones del m.c.u.a. ya que son análogas a las del m.r.u.a, pero considerando magnitudes angulares en lugar de lineales.
Relación entre Magnitudes Angulares y Lineales
El m.c.u.a. es un movimiento circular, y como tal, las magnitudes angulares y lineales quedan relacionadas a través del radio R.
| Magnitud Lineal | Relación | Magnitud Angular |
|---|---|---|
| espacio recorrido (s) | φ | |
| velocidad lineal (v) | ω | |
| aceleración tangencial (at) | α | |
| aceleración normal (an) | - |
De la tabla anterior podemos deducir fácilmente las magnitudes lineales siguientes:
Finalmente, recuerda que la aceleración total de un cuerpo puede ser expresada en función de sus componentes intrínsecas, quedando su módulo:
Deducción de Ecuaciones del M.C.U.A.
Para obtener las ecuaciones del movimiento circular uniformemente acelerado (m.c.u.a.) procedemos de forma similar a como lo hacíamos con el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.), pero considerando magnitudes angulares, en lugar de lineales. Tendremos en cuenta las siguientes propiedades:
- La aceleración angular es constante()
- Por otro lado esto implica que la aceleración angular media e instantánea del movimiento tienen el mismo valor en todo momento
Se trata, por tanto, de determinar una expresión para la velocidad angular y otra para la posición angular (la aceleración angular ya sabemos que es constante). Con las restricciones anteriores nos queda:
Esta primera ecuación relaciona la velocidad angular del cuerpo con su aceleración angular en cualquier instante de tiempo y se trata de una recta (ω) cuya pendiente coincide con la aceleración angular y cuya coordenada y en el origen es la velocidad angular inicial (ω0). Nos faltaría por obtener una ecuación que nos permita obtener la posición. Para deducirla hay distintos métodos. Nosotros usaremos el teorema de Merton: , ya usado en el m.r.u.a, que nos permite afirmar que el ángulo recorrido en un m.c.u.a. coincide con el correspondiente a un m.c.u. de velocidad angular igual a la media aritmética de las velocidades angulares de los extremos del intervalo de tiempo considerado.
Donde hemos aplicado: