Potencial gravitatorio de un sistema de cuatro partículas

Datos

• Lados del cuadrado: l = 2 m
• Valor de las masas: m₁ = m₂ = m₃ = m₄ = 1000 kg
• Radio de las masas esféricas: 0.5 m
• Masas puntuales situadas en el centro del cuadrado: m_a = 3 kg ; m_b = 6 kg

Consideraciones previas

• Para determinar la energía potencial gravitatoria de m_a y m_b , situadas en el centro del cuadrado vamos a calcular previamente el potencial gravitatorio V en dicho punto, que no es más que la energía potencial gravitatoria por unidad de masa en el citado punto. A partir de él, podemos calcular la energía potencial de cualquier masa m a través de la expresión:

• Se nos proporciona información de la forma geométrica de las masas que generan el campo. Sabemos que el potencial creado por una masa esférica en el exterior de la misma coincide con el que crearía una partícula puntual situada en el centro de la misma. Dado que los radios de las esferas son de 0.5 m, se puede comprobar fácilmente que el centro del cuadrado queda en el exterior de todas las masas, con lo que podemos aplicar:

  Si el centro del cuadrado quedase en el interior de alguna de las esferas no podríamos aplicar esta expresión para el cálculo del potencial asociado

Resolución

El potencial total en el centro del cuadrado será la suma de los potenciales que generan cada una de las masas:

La distancia r al centro del cuadrado es la misma en todos los casos y se puede calcular según el teorema de Pitágoras:

Teniendo en cuenta que también las masas de las partículas son iguales, podemos escribir:

A partir del potencial es inmediato calcular la energía potencial gravitatoria que adquieren las masas pedidas. Para la masa de 3 kg:

Para el caso de la masa de 6 kg: