Aproximación de raíces de función por Bolzano

Consideraciones previas

Siempre que tengamos que deducir si una función tiene raices (esto es, valores x que hagan f(x)=0), tenemos que pensar en el teorema de Bolzano. Este nos dice que si:

• Una función es continua en un intervalo [a,b], como es nuestro caso por tratarse de un polinomio y ser contínua en todos los reales, y...
• ...el signo de f(a) es distinto de f(b), es decir, pasa de negativa a positiva o viceverssa, ...

...entonces   existe un valor intermedio .

Por tanto, para encontrar dicho valor c, con una precisión determinada, debemos encontrar una intervalo en el que podamos asegurar que está la solución (el signo es distinto en los extremos del mismo), y cuya longitud coincida con la precisión buscada. El extremo inferior de dicho intervalo será la solución aproximada. Así, si nos exigen por ejemplo precisar hasta las décimas, la longitud máxima del intervalo debe ser 0.1, hasta las centésimas, 0.01, y así sucesivamente... Vamos a ello.

Resolución

1.

Comenzamos a investigar los valores de la función para distintos valores de x hasta encontrar un intervalo en el que la función cambie de signo. Conviene probar valores de x que no sean muy distintos para poder precisar mejor la solución en menos pasos. En nuestro caso, probano con x=0 y x=1 tenemos f(0)=-1 y f(1)=4. Aplicando el teorema, sabemos que hay una solución entre x=0 y x=1. No obstante la longitud del intervalo es de una unidad, por lo que si dijéramos que la solución es x=0 estaríamos comentiendo, como máximo, un error de una unidad, mayor del permitido.

Para calcularla con precisión de décimas dividimos el intervalo en disitintos subtintervalos de longitud 0.1. Probamos valores de x:

Por lo tanto, como observamos, la raiz está entre x=0.2 y x=0.3. La solución 0,2 es correcta aproximando hasta las décimas, ya que la longitud del intervalo considerad es 0.3-0.2=0.1. Si quisieramos saber la solución con precesión de centésimas repetiriamos el proceso en el intervalo [0.2, 0.3].

2.

Comenzamos a investigar los valores de la función para distintos valores de x, siempre dentro de [0, 2], hasta encontrar un intervalo en el que la función cambie de signo. Conviene probar valores de x que no sean muy distintos para poder precisar mejor la solución en menos pasos. En nuestro caso, probando con x=0 y x=1 tenemos f(0)=1/4 y f(1)=-1/3. Aplicando el teorema, sabemos que hay una solución entre x=0 y x=1. No obstante la longitud del intervalo es de una unidad, por lo que si dijéramos que la solución es x=0 estaríamos comentiendo, como máximo, un error de una unidad, mayor del permitido.

Teniendo en mente que f(0)>0, intentamos "reducir" la longitud del intervalo estudiado en una mitad, estudiando x=0.5. Así podremos saber si la solución se encuentra en [0, 0.5] o en [0.5, 1].

f(0,5)=-0.125, con lo que en el intervalo [0, 0.5] hay un cambio de signo. Descartamos el intervalo [0.5, 1] por ser f(0.5)<0 y f(1)<0.

Para estudiar el intervalo [0, 0.5], damos algunos valores a la función:

Podemos descartar el intervalo [0, 0.2], por ser la función positiva en ambos extremos, y centrarnos en [0.2, 0.3] en el que se produce el cambio de signo. La solución 0.2 es correcta aproximando hasta las décimas, ya que la longitud del intervalo considerado es 0.3-0.2=0.1. Como queremos saber la solución con precesión de centésimas repetimos  el proceso en el intervalo [0.2, 0.3].

Por lo tanto podemos decir que la solución está en el intervalo [0.29, 0.30].

La solución x=0.29 es la buscada con precisión de centésimas, puesto que el intervalo tiene esa amplitud: 0.30-0.29=0.01.

3.

Comenzamos a investigar los valores de la función para distintos valores de x hasta encontrar un intervalo en el que la función cambie de signo. Conviene probar valores de x que no sean muy distintos para poder precisar mejor la solución en menos pasos. En nuestro caso, probamos con x=0 y x=1 tenemos f(0)=-0.84 y f(1)=+0.84  (recuerda utilizar obligatoriamente la calculadora en radianes) Aplicando el teorema, sabemos que hay una solución entre x=0 y x=1. No obstante la longitud del intervalo es de una unidad, por lo que si dijéramos que la solución es x=0 estaríamos comentiendo, como máximo, un error de una unidad, mayor del permitido.

Para calcularla con precisión de décimas dividimos el intervalo en disitintos subtintervalos de longitud 0.1. Probemos distintos valores de x:

Por lo tanto, como observamos, la raiz está entre x=0.6 y x=0.7. La solución 0,6 es correcta aproximando hasta las décimas, ya que la longitud del intervalo considerada es 0.7-0.6=0.1. Si quisieramos saber la solución con precesión de centésimas repetiriamos el proceso en el intervalo [0.2, 0.3].