Teorema de Bolzano

El teorema de Bolzano establece que:

• Si una función es continua en un intervalo [a,b] y...
• ...el signo de la función es diferente en los extremos del intervalo, es decir, signo f(a) ≠ signo f(b) ...

...entonces existe al menos un valor c de dicho intervalo en el que la función corta al eje X.

Gráficas del teorema de Bolzano

Las funciones en 1 y en 2 cumplen las premisas indicadas en el teorema de Bolzano. Observa que la función en 1 corta al eje un sólo punto, en x=c, mientras que la función en 2 lo hace en dos puntos, x=c y x=d. Finalmente, la función en 3 no es continua, con lo que a pesar de tener signos distintos en los extremos del intervalo, no tiene por qué haber ningún c que corte al eje X.

Formalmente:

Bernard Bolzano

Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781 - 1848) fue un filósofo y matemático italiano, de origen autriaco con importantes trabajos en el campo del análisis. Además del teorema aquí recogido también se le conoce por el teorema de Bolzano-Weierstrass, con el que no debes confundirte. En cualquier caso, su formulación queda fuera de los contenidos de este nivel.

Demostración

Existen varias demostraciones del teorma de Bozano, aunque ninguna tan intuitiva como su propia formulación. Para realizarla, nos vamos a basar en dos ideas:

• Teorema de los intervalos encajados

  Sea una sucesión de intervalos cerrados I₁=[a₁,b₁], I₂=[a₂,b₂], I₃=[a₃,b₃]... I_n=[a_n,b_n], tales que I₁⊃I₂⊃I₃...⊃I_n y las longitudes de los mismos b_n-a_n tiende a 0. Existe entonces un único valor c que es común a todos ellos. Matemáticamente: $c=\underset{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}{\cap }{I}_n$

• Propiedad de las funciones continuas

  Basándonos en la propia definición de función continua, cuando una función es continua en un punto x₀, y se cumple que f(x₀)≠0, existe un entorno de x₀ en el que la función tiene el mismo signo que f(x₀).

A partir de ellas, comenzamos nuestro razonamiento.

Suponemos que f(a)<0 y f(b)>0 (dejamos como ejercicio propuesto el caso análogo en el que f(a)>0 y f(b)<0). Tomando c₁, el punto medio del intervalo:

• si f(c₁)=0, ya hemos demostrado lo que queríamos
• En caso contrario "subdividimos" el intervalo [a,b] en dos mitades iguales [a, c₁] y [c₁, b]

Ahora bien, en uno de esos dos subintervalos, se debe seguir cumpliendo que el valor de la función en los extremos tendrá diferente signo. Llamamos a ese intervalo [a₁,b₁] y repetimos el proceso, es decir, tomamos c₂, el punto medio del intervalo y...

• si f(c₂)=0, ya hemos demostrado lo que queríamos
• En caso contrario "subdividimos" el intervalo [a₁,b₁] en dos mitades iguales [a, c₂] y [c₂, b]

Y volvemos a empezar. Vamos construyendo así, una serie de intervalos encajados. Gráficamente es muy fácil observar que dicho proceso nos va a llevar necesariamente a encontrar el punto de corte buscado.

Demostración del teorema de Bolzano

A partir de un intervalo genérico I₁=[a,b] en cuyos extremos la función toma signos distintos, vamos iterando según el procedimiento señalado. En cada iteración buscamos si se anula la función el punto medio c_n del intervalo. Si no es así nos quedamos con el subintervalo en el que se siga cumpliendo que sus extremos tienen signos distintos, y repetimos el proceso.

Ahora bien, ¿cómo podemos demostrarlo matemáticamete? Imagina que a pesar de construir toda la sucesión de intervalos encajados [a,b]⊃[a₁,b₁]⊃[a₂,b₂].., ninguno de ellos tiene como punto medio el valor c tal que f(c)=0. Lo que sí podemos afirmar es que en cada uno de ellos el valor de la función tiene signo distinto en sus extremos, y la longitud de cada intervalo es la mitad de la longitud del intervalo anterior.

Pues bien, si hubiera n intervalos encajados, la longitud de los mismos $\frac{b-a}{2^n}$ tiende a 0. El teorema de los intervalos encajados nos permite asegurar la existencia de un punto c común a todos ellos.

• Si dicho punto cumpliese f(c)>0, entonces, por la propiedad de las funciones contínuas señalada al comienzo de esta demostración, debería existir un entorno (c-δ,c+δ) en el que la función sería siempre positiva. Esto es imposible, ya que en dicho intervalo hay infinitos intervalos de la sucesión anterior (porque sus longitudes tienden a 0 y c debe estar en todos ellos), y habíamos dicho que dichos intervalos se caracterizaban precisamente porque la función cambiaba de signo en sus extremos
• Análogamente ocurriría si f(c)<0

En definitiva, que forzosamente f(c)=0, que es lo que queríamos demostrar.

Aplicaciones

El teorema de Bolzano es ampliamente utilizado siempre que es necesario conoces las raíces de una función en un intervalo determinado, esto es, los valores de la variable independiente x que hacen cero la función. Se suele utilizar con funciones trascendentes (aquellas exponenciales, logarítmicas, trigonométricas o con la x de índice de la raíz). Así, podremos distinguir algunos ejemplos de aplicación, que iremos estudiando en los ejercicios asociados a este apartado. Concretamente:

• Aproximar la raíces de una función

  Si encontramos un intervalo, tan pequeño como sea necesario, en que se cumplen las premisas del teorema, podemos afirmar que la solución aproximada será el extremo inferior del intervalo.

  

  Aproximación de raíces

  Imaginemos que existe una función, en rojo, que sé que es continua en le intervalo [2, 3]. Imaginemos que la raíz de dicha función, marcada en verde, se encuentra realmente en 2.543, algo que no podemos conocer a priori. Entonces...

• Aproximar soluciones de ecuaciones por Bolzano

  Efectivamente, una ecuación es una igualdad expresión 1 = expresión 2. En ocasiones resulta útil expresarla pasando las dos expresiones al mismo miembro, quedando expresión 1 - expresión 2 = 0. El miembro izquierdo (expresión 1 - expresión 2) es una función, que estamos igualando a 0, f(x)=0. Supongamos que se verifican las premisas de Bolzano en un intervalo determinado, entonces aproximar las raíces de dicha función (como vimos en el punto anterior) equivale a solucionar la ecuación expresión 1 = expresión 2.

• Encontrar el punto de corte de dos curvas

  Imaginemos dos funciones f(x) y g(x). Si ambas funciones se cortan, en algún punto coincidirán sus valores, y podemos escribir f(x)=g(x). Encontrar el punto de corte equivale a encontrar la solución de dicha ecuación, tal y como hemos visto en el punto anterior.

  

  Buscar punto de corte de dos curvas por teorema de Bolzano

  Si dos funciones se cortan en un punto, entonces el valor de las mismas coincide en él, f(x)=g(x), y podemeos utilizar el teorema de Bolzano para aproximar dicho punto.