Solución de ecuaciones por Bolzano

Consideraciones previas

La resolución de este tipo de ecuaciones en las que no se puede despejar la incógnita algebráicamente  nos conduce a intentar buscar la solución usando el teorema de Bolzano.

Recuerda que Bolzano nos permite afirmar que una función continua en un intervalo tiene raíces en él (es decir, valores de x que la hacen 0) siempre que cambie su signo en los extremos de dicho intervalo.

Para resolver una ecuación, por tanto:

1. Buscamos la función continua que debe anularse, asociada a la ecuación
2. Buscamos un intervalo en el que la función cambie de signo
3. Vamos iterando, aproximándonos a la solución, haciendo el intervalo tan pequeño como sea necesario (ver ejercicio de aproximación de raíces de una ecuación)

Resolución

Primero definimos la función que estudiar a partir de la ecuación . Resolver esta ecuación es lo mismo que buscar las raices de la función  

Como hemos dicho, debemos asegurarnos que la función es continua. Es una función exponencial-potencial. Su base es continua dado que es una recta (polinomio de primera grado). El exponente es el logaritmo neperiano, que es continua en todo su dominio (0, ∞). Por lo tanto vamos a dar valores a la variable x. Por ejemplo, x=1, y x=2. Veamos si cambia de signo la función para poder aplicar el teorema. Si no lo hiciera, seguiríamos dando valores:

Por lo tanto existe un valor x=c de tal manera que la función vale cero y es la solución a nuestra ecuación. Para aproximar la solución hasta las décimas dividimos ese intervalo. Damos el valor de x=1.5 para ver si está entre x=1 y x=1.5  o entre x=1.5 y x=2:

Por lo tanto cambia de signo entre x=1.5 y x=2. Como f(1,5) está muy cerca de cero calculamos f(1,6):

Como vemos, la función cambia de signo entre x=1.5 y x=1.6. Como la longitud del intervalo es justamnte 0.1, podemos decir que la solución hasta las décimas es c=1,5.