Regla de L'Hôpital para indeterminaciones exponenciales

Consideraciones previas

Los apartados de este ejercicio están pensados para que practiques la regla de L'Hôpital para resolver indeterminaciones exponenciales, del tipo 1^∞, 0⁰ y ∞⁰. Aunque la regla nos permite resolver de manera directa indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞, en los apartados de este ejercicio haremos las transformaciones necesarias para obtener este último tipo de indeterminaciones. Concretamente, el proceso a seguir será

• asumir que el límite existe y su valor es L (por ejemplo)
• tomar logaritmos
• aplicar L'H

Recuerda que la regla nos dice que siempre que las funciones del numerador y del denominador sean derivables en un entorno del punto en el que estamos calculando el límite, se cumple que:

Consulta la teoría vinculada para una información más precisa y formal.

Resolución

1.-

Empezamos sustituyendo, como normalmente...

Asumimos que el límite existe, lo llamamos L y tomamos logaritmos:

Como sabes, , con lo que...

Hacemos el cálculo de dicho límite...

Por tanto...

2.-

Como siempre, el primer paso es sustituir...

Asumimos que el límite existe y vale L, y tomamos logaritmos en ambos miembros...

Como sabes, , con lo que...

Calculamos dicho límite:

Con lo que...

3.-

En estos casos suele ser conveniente comenzar con un cambio de variable, t=-x, con lo que...

Comenzamos con la sustitución:

Tomemos logaritmos...

Una vez más, , con lo que...

Resolvamos dicho límite...

Por comparación de infinitos es claro que dicho límite vale 0. No obstante, podemos aplicar la regla de L'Hôpital:

Con lo que nos queda, finalmente:

4.-

Comenzamos sustityendo...

Tomamos logaritmos:

Como sabemos que , nos queda...

Con lo que...

5.-

De la sustitución inicial obtenemos...

Aplicando logaritmos...

Sabiendo que , nos queda...

Con lo que:

6.-

De la sustitución inicial obtenemos...

Aplicando logaritmos...

Sabemos que , con lo que nos queda...

Vamos a resolver dicho límite...

Transformamos la función para poder aplicar L'Hôpital...

En este caso sí estamos en disposición de aplicar la regla de L'Hôpital...

Con lo que...