Regla de la Cadena

Al estudiar las reglas de derivación es habitual aprender una tabla con la derivada de las funciones habituales. En ella, encontrarás la derivada de las funciones en su forma más sencilla posible. Por ejemplo:

La regla de la cadena es una fórmula que te permitirá obtener la derivada de funciones más complejas, por ejemplo, $3{\left(\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\left(\mathbf{x}\right)\right)}^2 \text{ó} \sqrt{{\mathbf{2}}^{\mathbf{x}}}$. Como ves, en estos dos ejemplos tenemos otra función allí donde antes teníamos simplemente x.

Desde un punto de vista práctico, la regla de la cadena nos permite decir "si en lugar de x tengo f(x), a la hora de derivar sustituyo x por f(x) en la regla que corresponda, y multiplico por f'(x)". Así pues los ejemplos anteriores quedarían:

Descifra la regla de la cadena

A la izquierda, la función f(x)=sin(Ln(x)). A la derecha, su derivada f'(x), obtenida aplicando la regla de la cadena. En ella, la última función que actúa, el seno, en azul, es la primera que se deriva. Posteriormente actúa el logaritmo neperiano, en verde. Precisamente por ello se denomina regla de la cadena, porque el proceso consiste en ir "encadenando" sucesivamente las derivadas de las funciones que actúan.

Definición

En realidad, la regla de la cadena es una consecuencia de la derivada de la composición de funciones.

Puedes aplicar la regla de la cadena a cualquier número de funciones compuestas. Por ejemplo, en...

$$f\left(x\right)=sin\left(cos\left(ln\left(x\right)\right)\right)$$

...tenemos 3 funciones. Aplicando la regla de la cadena tendríamos:

$$f\text{'}\left(x\right)=cos\left(\cos \left(\ln \left(x\right)\right)\right)·\left(-sin\left(ln\left(x\right)\right)\right)· \frac{1}{x}$$

Demostración

Comenzaremos aplicando la propia definición de derivada a la función compuesta:

$$D\left(g\left[f\left(x\right)\right]\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g\left[f\left(x+h\right)\right]-g\left[f\left(x\right)\right]}{h}$$

Multiplicando y dividiendo por f(x+h)-f(x), y reordenando nos queda:

$$\begin{gathered} \underset{h\to 0}{\lim }\frac{g\left[f\left(x+h\right)\right]-g\left[f\left(x\right)\right]}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g\left[f\left(x+h\right)\right]-g\left[f\left(x\right)\right]}{h}·\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g\left[f\left(x+h\right)\right]-g\left[f\left(x\right)\right]}{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}·\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \end{gathered}$$

Como el límite de un producto es el producto de los límites, podemos escribir:

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g\left[f\left(x+h\right)\right]-g\left[f\left(x\right)\right]}{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}·\underset{\mathbf{h}\mathbf{\to }\mathbf{0}}{\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{m}}\frac{\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{h}\right)\mathbf{-}\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right)}{\mathbf{h}}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g\left[f\left(x+h\right)\right]-g\left[f\left(x\right)\right]}{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}·\mathit{f}\mathbf{\text{'}}\left(\mathbf{x}\right)$$

Como ves, el segundo factor es la derivada de f, ahora vamos a demostrar que el primero es g'[f(x)].

Para ello supondremos, en primer lugar, que existe un entorno de x en el que el valor de la función es distinto al de f(x), es decir, supondremos que existe un entorno de x en el que la función no es constante. Formalmente, esto equivale a decir que podemos encontrar un ε>0 tal que, si a∈(x-ε,x+ε), entonces f(a)≠f(x).

Bajo estas condiciones, podemos decir que cualquier valor f(x+h) podrá ser escrito como f(x)+k con k≠0 siempre que |h|<ε. En consecuencia:

• g[f(x+h)]=g[f(x)+k]
• Si h→0, entonces k→0

Demostración regla de la cadena

En un entorno de x, f(x+h) puede ser reescrita como f(x)+k. Además, observa como al hacer h próximo a 0, el valor de k también se acerca a 0.

Ya estamos en condiciones de reescribir el primer factor que nos quedaba aplicando la definición de la derivada a la composición de funciones, quedando:

$$\begin{gathered} \underset{h\to 0}{\lim }\frac{g\left[f\left(x+h\right)\right]-g\left[f\left(x\right)\right]}{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}·f\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{g\left[f\left(x)+k\right)\right]-g\left[f\left(x\right)\right]}{f\left(x\right)+k-f\left(x\right)}·f\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{g\left[f\left(x)+k\right)\right]-g\left[f\left(x\right)\right]}{k}·f\text{'}\left(\mathrm{x}\right)= \\ =g\text{'}\left[f\left(x\right)\right]·f\text{'}\left(\mathrm{x}\right) \end{gathered}$$