Ley de Gravitación Universal

La ley de la gravitación universal, o simplemente, ley de la gravedad, establece la fuerza con la que se atraen dos cuerpos por el simple hecho de tener masa. Esta ley fue desarrollada por Sir Isaac Newton en el tercer libro de su obra Principios matemáticos de fillosofía natural, titulado Sobre el sistema del mundo. En este apartado estudiaremos:

• La fórmula de la fuerza gravitatoria, para una y varias masas
• La deducción de la ley de la gravedad
• El significado físico de la constante k de Kepler

¿Estás preparado?

Fuerza de la gravedad

La expresión de la ley de gravitación universal se plasma en la expresión de la fuerza gravitatoria o fuerza de la gravedad, ya estudiada en niveles anteriores (puedes pulsar sobre la pestaña Ver también en la parte superior de la página para ampliar información a este respecto). En esta sección vamos a recordarla y a profundizar en ella.

Por tanto, la interacción gravitatoria entre dos cuerpos siempre se manifiesta como una pareja de fuerzas iguales en dirección y módulo pero sentido contrario. El caracter atractivo de la fuerza se indica mediante el signo - de la expresión anterior. La siguiente imagen ilustra este concepto. 

Fuerza Gravitacional

La segunda masa (m₂) es la responsable de aparezca una fuerza de atracción sobre el primer cuerpo (m₁) denominada ${\overrightarrow{F}}_{2,1}$. Este a su vez también es el responsable de que aparezca una fuerza de atracción denominada ${\overrightarrow{F}}_{1,2}$ sobre el cuerpo m_1.  

Ambas fuerzas son de igual dirección aunque de sentido contrario. Vectorialmente podemos expresar esto diciendo que:

$${\overrightarrow{u}}_{r1,2}=-{\overrightarrow{u}}_{r2,1} \Rightarrow {\overrightarrow{F}}_{1,2} = -{\overrightarrow{F}}_{2,1}$$

Efectos sobre un conjunto de masas

Hemos estudiado cómo la gravedad actúa sobre una pareja de cuerpos como una pareja de fuerzas, pero ¿qué ocurre cuando, en lugar de dos masas, tenemos tres o más?

Así, si por ejemplo tenemos n masas, la fuerza gravitatoria que actuará sobre la primera de las masas se calculará según:

$${\overrightarrow{F}}_1={\overrightarrow{F}}_{2,1}+{\overrightarrow{F}}_{3,1}+\dots +{\overrightarrow{F}}_{n,1}$$

La siguiente imagen ilustra el principio anterior.

Fuerza Gravitatoria Resultante

Las tres partículas de la figura interaccionan entre sí a través de la fuerza gravitatoria. Cada una de ellas experimenta un par de fuerzas, debido a las otras dos partículas, y a su vez genera una fuerza sobre cada una de ellas.

Deducción

Probablemente habrás oído la leyenda según la cual Newton comenzó a preguntarse por la teoría de la gravedad cuando vio caer una manzana de un árbol en Woolsthorpe, Lincolnshire (Inglaterra) en 1666. Lo cierto es que la teoría que elaboró, y que publicó en 1687 en su obra Philosopiae Naturalis Principia Mathematica, permite relacionar fenómenos aparentemente tan distintos como la aceleración de los cuerpos que caen en la superficie de la Tierra (la manzana de la leyenda, por ejemplo) y las órbitas que tienen los planetas o los satélites (la Tierra alrededor del Sol, por ejemplo).

La expresión anterior de la fuerza gravitatoria no tiene demostración matemática alguna, sino que podemos llegar a ella usando algunos datos experimentales y algo de intuición: Newton llegó a ella basándose en una minuciosa observación de la realidad. Para deducirla vamos a partir de la órbita que describe la Tierra alrededor del Sol, con algunos matices, y deduciremos la dependencia con la distancia y con la masa de la fuerza. La siguiente imagen te ayudará a entender el desarrollo que presentamos a continuación:

Deducción de la ley de la gravedad

Para deducir la ley de la gravedad podemos considerar una órbita circular de la Tierra alrededor del Sol. Para que se produzca dicho movimiento circular será necesario una fuerza centrípeta que será precisamente la fuerza de la gravedad. Por otro lado, dado que las fuerzas actúan a pares por el principio de acción y reacción, podemos considerar que F_c' como la fuerza de reacción a F_c.

Modelo de trayectoria

Consideramos que la Tierra y el Sol son partículas puntuales. Podemos hacerlo por que las distancias consideradas son mucho mayores que los tamaños de los astros. Así mismo, sabemos que las órbitas de los planetas son elípticas, pero podemos suponer, para simplificar, que la Tierra tiene una trayectoria circular alrededor del Sól. Al fin y al cabo, una circunferencia no es más que un caso particular de una elipse en el que su excentricidad es cero y la excentricidad de la Tierra es, de hecho, próxima a 0. Finalmente, podemos suponer que la única fuerza significativa que actúa sobre la Tierra es la gravitatoria ejercida por el sol.

La fuerza gravitatoria depende de la distancia

Sabemos que la aceleración centrípeta es la responsable del movimiento circular de la Tierra alrededor del Sol. Dicha aceleración se genera gracias a la fuerza centrípeta, que en este caso, es precisamente la fuerza gravitatoria. Por tanto, teniendo esto en cuenta y a partir del principio fundamental, podemos escribir:

$$F_g=F_c=m_T·a_c$$

Conociendo la expresión de la aceleración centrípeta, podemos escribir:

$$\begin{gathered} a_c=\frac{v^2}{r}\underset{\left[1\right]}{=}\frac{{\left(\omega ·r\right)}^2}{r}\underset{\left[2\right]}{=}\frac{{\left({\displaystyle \frac{2·\pi }{T}}·r\right)}^2}{r}=\frac{4·{\mathrm{\pi }}^2}{T^2}·r \\ \left[1\right] v=\omega ·r \\ \left[2\right] \omega =\frac{2·\mathrm{\pi }}{T} \end{gathered}$$

A partir de las observaciones de Kepler y su tercera ley $T^2=k·r^3$ , y sustituyendo la aceleración centrípeta en la expresión de la fuerza correspondiente anterior, podemos escribir:

$$F_g=F_c=m_T·\frac{4·{\mathrm{\pi }}^2}{T^2}·r=m_T·\frac{4·{\mathrm{\pi }}^2}{\mathrm{k}·{\mathrm{r}}^3}·r=m_T·\underset{cte=k\text{'}}{\underbrace{\frac{4·{\mathrm{\pi }}^2}{\mathrm{k}}}}·\frac{1}{r^2}=\frac{m_T·k\text{'}}{r^2}$$

O, dicho de otro modo, la fuerza gravitatoria es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

La fuerza gravitatoria depende de la masa

La deducción de Newton, en este caso, se basa en los siguientes puntos:

• Sabemos que la fuerza gravitatoria del Sol sobre la Tierra es proporcional a la masa de la Tierra (como hemos visto en la expresión $F_g=F_c=\frac{m_T·k\text{'}}{r^2}$  )
• Por el principio de acción y reacción, si el Sol ejerce una fuerza de atracción sobre la Tierra, esta última debe ejercer una fuerza sobre el Sol de igual módulo $F_c=F_c\text{'}$  ( y dirección pero sentido contrario )
• Cómo buscamos una expresión universal que represente ambas fuerzas (la de acción y la de reacción), esta debe incluir la masa de ambos astros. Dicho de otro modo, como $F_c\propto m_T\Rightarrow F_c\text{'}\propto m_S\Rightarrow F_g\propto m_T·m_S$ 

Con todo ello, la constante k' anterior, debe ser, a su vez, proporcional a la masa del planeta Sol, quedando finalmente:

$$\begin{gathered} F_g=F_c=\frac{m_T·k\text{'}}{r^2}\underset{\left[1\right]}{=}\frac{m_T·G·m_S}{r^2}=G·\frac{m_S·m_T}{r^2} \\ \left[1\right] k\text{'}=G·m_S \end{gathered}$$

La expresión anterior determina la fuerza con la que se atraen dos masas cualesquiera por el simple hecho de tener materia. La constante G es una constante de proporcionalidad independiente, esta vez, de ambas masas. 

Obtención del valor de la constante universal G

Aunque resulta inmediato despejar la constante G de la expresión dada para la fuerza gravitatoria, lo cierto es que en tiempos de Newton existían serias dificultades para ello. Por un lado, si considerásemos dos masas cualesquiera, los efectos de su atracción (necesarios para conocer F_g y despejar G) quedaban enmascarados por la acción de la Tierra. Por otro lado, si considerásemos una masa cualquiera y la masa de la Tierra, podríamos conocer F_g a partir de la aceleración de la gravedad en la Tierra ( facilmente medible ). El problema aquí es que, en aquella época, no se conocía la masa de la Tierra.

La primera medición precisa del valor de G fue obtenida en 1798 por H. Cavendish (1731 - 1810 ) con una balanza de torsión como la que se muestra en la figura.

Balanza de Torsión

La masas grandes, fijas, atraen a las masas pequeñas, móviles, provocando un giro en la varilla que las soporta y una torsión del hilo del que esta cuelga. Gracias a un haz de luz y a un espejo colocado en dicho hilo se puede medir el ángulo de giro. A partir de él, y conocida la constante de torsión del hilo, se puede determinar el momento de fuerza que actúa y, a partir de él, la constante G.

El valor obtenido por Cavendish fue de $G=\left(6.6\pm 0.041\right)·{10}^{-11}\raisebox{1ex}{$N·m^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$k{g}^2$}\right.$ , cercano al valor que hoy le damos: $G=6.67·{10}^{-11}\raisebox{1ex}{$N·m^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$k{g}^2$}\right.$ .

Significado físico de la constante de Kepler

La tercera ley de Kepler establece la relación entre el periodo de un planeta alrededor del Sol y su radio medio a través de la constante k según la expresión $T^2=k·r^3$ . Kepler supuso que la razón del movimiento plantario residía en el Sol. A partir de la expresión de la fuerza gravitacional, podemos comprobar que no le faltaba razón.

Según hemos hablado, la fuerza gravitacional es centrípeta, al ser la responsable de que el planeta, de masa m_P gire en torno al Sol, de masa m_S. Por tanto, podemos escribir:

$$\begin{gathered} F_g=m_P·a_c\Rightarrow G·\frac{m_S·m_P}{r^2}=m_P·\frac{v^2}{r}\underset{\left[1\right]}{\Rightarrow }G·\frac{m_S·m_P}{r^2}=m_P·{\omega }^2·r \\ \left[1\right] v=\omega ·r \end{gathered}$$ 

Como sabemos que $\omega =\frac{2·\mathrm{\pi }}{T}$ , podemos despejar de la siguiente forma:

$$G·\frac{m_S·m_P}{r^2}=m_P·{\frac{4·\mathrm{\pi }}{T^2}}^2·r\Rightarrow T^2=\frac{4·{\mathrm{\pi }}^2}{G·m_S}·r^3$$ 

La expresión anterior es, precisamente, la tercera ley de Kepler, considerando:

$$k=\frac{4·{\mathrm{\pi }}^2}{G·m_S}$$