Campo gravitatorio nulo entre 2 masas

Datos

• Masa 1 m₁ = 8 kg
• Masa 2 m₂ = 2 kg
• Distancia a la primera masa tal que el campo gravitatorio se anula r₁ = 2/3 m

Consideraciones previas

Antes de comenzar a realizar los cálculos conviene hacernos una representación gráfica de la situación. Situaremos el origen de nuestro sistema de coordenadas sobre la primera masa, y la segunda sobre el eje de abcisas (eje X) a una distancia indeterminada r de la primera. Por otro lado, sabemos que la intensidad de campo gravitatorio en cada punto del espacio viene determinada por la suma vectorial de los campos que genera cada masa individualmente. Por tanto, y dado que el campo siempre apunta a la masa que lo genera, la condición que debe cumplirse en el punto en el que se anula (a 2/3m del origen) es que los valores de los campos generados por cada masa sean iguales. O dicho de otra manera:

$$\overrightarrow{g}={\overrightarrow{g}}_1+{\overrightarrow{g}}_2=-g_1·{\overrightarrow{u}}_{r_1}-g_2·{\overrightarrow{u}}_{r_2}$$

Y dado que ${\overrightarrow{u}}_{r_1}=-{\overrightarrow{u}}_{r_2}$ , nos queda:

$$0=-g_1·{\overrightarrow{u}}_{r_1}+g_2·{\overrightarrow{u}}_{r_1}\iff g_1=g_2$$

La siguiente imagen recoge la situación de manera esquemática:

Resolución

Los valores g₁ y g₂ representan los módulos de la intensidad de campo gravitatorio debidos a la masa 1 y 2 respectivamente, por lo que podemos escribir:

$$\begin{gathered} g_1=g_2\Rightarrow \cancel{G}·\frac{m_1}{{\left(r_1\right)}^2}=\cancel{G}·\frac{m_2}{{\left(r_2\right)}^2}\Rightarrow \frac{8}{{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2}=\frac{2}{{\left(r-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2}\Rightarrow 4·{\left(r-\frac{2}{3}\right)}^2={\left(\frac{2}{3}\right)}^2\Rightarrow \\ \Rightarrow \cancel{4}·\left(r^2-\frac{4}{3}·r+\frac{4}{9}\right)=\frac{\cancel{4}}{9}\Rightarrow 9·r^2-12·r+4=1\Rightarrow 9·r^2-12·r+3=0\Rightarrow 3·r^2-4·r+1=0 \end{gathered}$$ 

Resolviendo la ecuación de segundo grado anterior, obtenemos:

$$r=\frac{4\pm \sqrt{16-12}}{6}=\left\{\begin{array}{l}=1\\ =\frac{1}{3}\end{array}\right.$$ 

El resultado anterior nos indica que los valores de g₁ y g₂ se igualan a 2/3 m del origen cuando situamos m₂ a 1 m o a 1/3 m de m₁. Sin embargo, para que el campo efectivamente se anule debemos situar m₂ a 1 m ya que en el caso de que r fuese 1/3, 2/3 m quedaría a la derecha de ambas masas y los valores de campos gravitatorio deberían ser sumados vectorialmente al apuntar sus respectivos vectores en la misma dirección.