Intensidad de campo gravitatorio a partir de potencial

Datos

• Potencial en función de la distancia: V(r) = -3·10^-7/r J/kg

Resolución

Sabemos que la expresión general del potencial gravitatorio producido por una masa puntual viene dada por V(r) = -G·m/r, por lo que podemos identificar con la expresión proporcionada según:

$$V\left(r\right)=-G·\frac{m}{r}=-\frac{3·{10}^{-7}}{r}\Rightarrow m=\frac{3·{10}^{-7}}{6.67·{10}^{-11}}=4497.75 kg$$

Por otro lado, podemos obtener la intensidad del campo gravitatorio a partir del potencial de acuerdo a través del gradiente:

$$g=-\overrightarrow{\nabla }V=-\left(\frac{\delta V}{\delta x}·\overrightarrow{i}+\frac{\delta V}{\delta y}·\overrightarrow{j}+\frac{\delta V}{\delta z}·\overrightarrow{k}\right)$$ 

El problema es que tenemos V en función de la distancia r, pero no de x,y y z. Sin embargo sabemos que el módulo del vector de posición es precisamente la distancia, por lo que:

$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\Rightarrow V=-\frac{3·{10}^{-7}}{r}=-\frac{3·{10}^{-7}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$ 

A través de la relación señalada obtenemos el vector intensidad de campo. Comenzamos con la componente x, considerando las componentes y y z constantes para la derivación:

$$\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{3·{10}^{-7}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(-3·{10}^{-7}·{\left(x^2+y^2+z^2\right)}^{-\frac{1}{2}}\right)=\frac{3}{\cancel{2}}·{10}^{-7}·{\left(x^2+y^2+z^2\right)}^{-\frac{3}{2}}·\cancel{2}·x=\frac{3·{10}^{-7}·x}{\sqrt{{\left(x^2+y^2+z^2\right)}^3}}$$

Siguiendo un razonamiento similar para las componentes y y z nos queda:

$$\begin{gathered} \frac{\partial V}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{3·{10}^{-7}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)=\frac{3·{10}^{-7}·y}{\sqrt{{\left(x^2+y^2+z^2\right)}^3}} \\ \frac{\partial V}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}\left(-\frac{3·{10}^{-7}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)=\frac{3·{10}^{-7}·z}{\sqrt{{\left(x^2+y^2+z^2\right)}^3}} \end{gathered}$$

Quedando finalmente la expresión del vector intensidad de campo gravitatorio:

$$\overrightarrow{g}=\frac{3·{10}^{-7}}{\sqrt{{\left(x^2+y^2+z^2\right)}^3}}·\left(x·\overrightarrow{i}+y·\overrightarrow{j}+z·\overrightarrow{k}\right) N/kg$$