Distancia focal lente a partir de radios

Datos

• n' = 1.52
• |R₁| = 25 cm
• |R₂| =  30 cm

Consideraciones previas

En las lentes biconvexas R₁ > 0 y R₂ < 0, con lo que R₁ = 25 cm R₂ = -30 cm. Por otro lado, usaremos como unidad de distancias los centímetros, por comodidad, a pesar de que la unidad del Sistema Internacional para distancias es el metro.

Resolución

A partir de la ecuación fundamental de las lentes delgadas en función de la distancia focal imagen podemos escribir:

$$\begin{gathered} \frac{n}{f\text{'}}=\left(n\text{'}-n\right)·\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)\Rightarrow \frac{1}{f\text{'}}=\left(1.52-1\right)·\left(\frac{1}{25}-\frac{1}{-30}\right)\Rightarrow \\ \Rightarrow f\text{'}=26.22 cm \end{gathered}$$

Donde hemos asumido que la lente se encuentra en el aire ( n = 1 ).

Por otro lado, aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas en función de la distancia focal objeto podemos escribir:

$$\begin{gathered} \frac{n}{f}=\left(n-n\text{'}\right)·\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)\Rightarrow \frac{1}{f}=\left(1-1.52\right)·\left(\frac{1}{25}-\frac{1}{-30}\right)\Rightarrow \\ \Rightarrow f\text{'}=-26.22 cm \end{gathered}$$

Como sabíamos, hemos llegado a f=-f'.

Llegados a este punto se nos pregunta si la lente se comporta de igual manera de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Veamos un razonamiento general, a partir de las fórmulas, y particularizaremos para las distancias focales. Consideremos un objeto situado a la izquierda de la lente a una distancia s₁ que forma imagen a una distancia s'₁. Por otro lado, consideraremos un objeto a la derecha de la lente, a una distancia s₂ cuyas imágenes se formarán a una distancia s'₂. De esta manera:

• Si los rayos van de izquierda a derecha, ya sabemos que podemos escribir: $\frac{n}{s_1\text{'}}-\frac{n}{s_1}=\left(n\text{'}-n\right)·\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)\Rightarrow \frac{n}{s_1\text{'}}=\left(n\text{'}-n\right)·\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)+\frac{n}{s_1}$
• Si los rayos van de derecha a izquierda, los radios se invierten en orden, quedando $\frac{n}{s_2\text{'}}-\frac{n}{s_2}=\left(n\text{'}-n\right)·\left(\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}\right)\Rightarrow \frac{n}{s_2\text{'}}=\left(n\text{'}-n\right)·\left(\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}\right)+\frac{n}{s_2}$

Ahora bien, sabemos que, por el criterio de signos DIN s₂ = -s₁, con lo que:

$$\begin{gathered} \frac{n}{s_2\text{'}}=\left(n\text{'}-n\right)·\left(\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}\right)+\frac{n}{-s_1}\Rightarrow \frac{n}{s_2\text{'}}=-\left(n\text{'}-n\right)·\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)-\frac{n}{s_1}\Rightarrow \\ \Rightarrow \frac{n}{s_2\text{'}}=-\left[\left(n\text{'}-n\right)·\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)+\frac{n}{s_1}\right] \end{gathered}$$

Con lo que:

$$\frac{n}{s_2\text{'}}=-\frac{n}{s_1\text{'}}\Rightarrow s_2\text{'}=-s_1\text{'}$$

¿Qué significa este resultado? Simplemente que las distancias son las mismas pero en el lado contrario de la lente según los rayos se propagan de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. De esta manera, aplicado a las distancias focales, y usando una flecha para notar el sentido de los rayos, f'_→ = -f'_←. Con esto podemos decir que la distancia focal es una característica de la lente y no depende del lado de incidencia de la luz.