Producto de los 8 primeros términos de una progresión geométrica

Aplicando la expresión del término general de una progresión geométrica, así como los datos que nos proporcionan en el enunciado, podemos calcular la razón de nuestra progresión:

$$\begin{gathered} a_n=a_1·r^{n-1} \Rightarrow \left\{n=5\right\} \Rightarrow \\ {a}_5=a_1·r^4 \Rightarrow \left\{a_1=3 y a_5 = \raisebox{1ex}{$243$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$16$}\right.\right\} \Rightarrow \\ r=\sqrt[4]{\frac{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$243$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$16$}\right.}}{3}}=\frac{81}{16}\Rightarrow \\ r=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Una vez que conocemos la razón, podemos aplicar la expresión del producto de n términos de una progresión geométrica. Sin embargo, en primer lugar deberemos calcular el termino octavo (a₈):

$$\begin{gathered} a_8=a_1·r^7 \Rightarrow \\ {a}_8=3·{\left(\frac{3}{2}\right)}^7 \Rightarrow \\ \underline{a_8=\frac{6561}{128}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} P={\sqrt{\left(a_1·a_n\right)}}^n \Rightarrow \left\{n=8\right\} \Rightarrow \\ P={\sqrt{\left(a_1·a_8\right)}}^8 \Rightarrow \\ P={\sqrt{\left(\frac{3·6561}{128}\right)}}^8 \Rightarrow \\ P={\sqrt{\left(\frac{3^9}{2^7}\right)}}^8 \\ \boxed{P=\sqrt{\frac{3^{72}}{2^{56}}}} \end{gathered}$$