Conservación del momento - masa variable

Enunciado

dificultad

Un camión se desplaza a una velocidad de 40 km/h en línea recta sobre una carretera convencional. Sobre el mismo se sitúa un contenedor abierto. El peso del conjunto es de 1800 kg. En un momento determinado comienza a llover, y el contenedor se llena de agua a razón de 6 L/min. Despreciando el rozamiento, ¿a qué velocidad se mueve el camión al cabo de una hora de lluvia? Expresa dicha velocidad en función del tiempo.

Solución

Datos

Velocidad inicial del camión v_i = 40 km/h = 40·1000/3600 = 11.11 m/s
Masa del conjunto m = 1800 kg
Velocidad de llenado del contenedor: 6 L/min
TIempo final considerado t = 1 h = 60 min = 3600 s

Resolución

Podemos resolver el problema aplicando el principio de conservación del momento lineal: En ausencia de fuerzas exteriores el momento permanece constante:

$\sum \vec{F} = 0 \Rightarrow \vec{p} = constante \Rightarrow {\vec{p}}_{i} = {\vec{p}}_{f} \Rightarrow m_{i} \cdot v_{i} = m_{f} \cdot v_{f}$

Observa, por un lado, que hemos considerado simplemente módulos de las magnitudes, y por otro, que hemos distinguido una masa inicial m_i de una masa final m_f. Efectivamente, a medida que se va llenando el contenedor la masa del conjunto se va incrementando, a razón de 6 litros cada minuto. El litro es una medida de volumen que equivale a 1dm³. Si suponemos que la densidad del agua es de...

$1 \frac{g}{c m^{3}} \cdot \underset{factor de conversión}{\underset{⏟}{\frac{1 k g}{1000 g} \cdot \frac{1000 c m^{3}}{1 d m^{3}}}} = 1 k g / d m^{3} = 1 k g / L$

...entonces tenemos que cada minuto la masa del conjunto se incrementa 6 kg. Una forma de expresar esto matemáticamente es recurrir a la ecuación continua de una recta, asumiendo que la recta es precisamente la masa, y la variable de la que depende el tiempo. Conocemos dos puntos de dicha recta:

Para t = 0, la masa es de 1800 kg
Para t = 60 min la masa es de 1800 + 60·6 = 2160

Por tanto, la ecuación de la masa en función del tiempo nos queda:

$\frac{x - a_{1}}{b_{1} - a_{1}} = \frac{y - a_{2}}{b_{2} - a_{2}} \Rightarrow \frac{t - t_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{m - m_{1}}{m_{2} - m_{1}} \Rightarrow \frac{t - 0}{60} = \frac{m - 1800}{2160 - 1800} \Rightarrow m = 1800 + \frac{360}{60} \cdot t$

Donde t se expresa en minutos. Así, ya estamos en disposición de calcular la velocidad pedida. Para t = 60 min nos queda m_f = 2160 kg y volviendo al principio de conservación:

$m_{i} \cdot v_{i} = m_{f} \cdot v_{f} \Rightarrow v_{f} = \frac{m_{i} \cdot v_{i}}{m_{f}} = \frac{1800 \cdot 11.11}{2160} = 9.25 m / s$

Para el cálculo de la expresión general de la velocidad en función del tiempo simplemente sustituimos la expresión de la masa en función del tiempo en la expresión del principio de conservación del momento:

$m_{i} \cdot v_{i} = m_{f} \cdot v_{f} \Rightarrow v_{f} = \frac{1800 \cdot 11.11}{1800 + \frac{360}{60} \cdot t} = \frac{19998}{1800 + 6 \cdot t} m / s$

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

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