Consideraciones previas

Puedes encontrar la teoría asociada en el apartado Vector de posición.

Resolución

Las dimensiones de cada cuadro son 1x2 metros, lo cual implica que el escalado en el eje horizontal es diferente al del eje vertical. Para llegar a esta conclusión observamos que el cuerpo se sitúa en el punto (4, 3). Como nos dicen que el vector de posición es $\overrightarrow{r}=4\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j} m$, esto significa que:

• 4·longitud horizontal = 4 m => longitud horizontal = 1 m
• 3·longitud vertical = 6 m => longitud vertical = 2 m

Consideraciones previas

Puedes encontrar la teoría asociada en el apartado Vector de posición.

Resolución

Teniendo presente que el vector de Scooby es el señalado, eso significa que cada cuadro del sistema de referencia representa 2m en horizntal, y 2m en vertical, por lo que el vector de posición de la gata con botas, que se encuentra en el punto (2,1) será $\overrightarrow{r}=4\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j} m$, es decir, dos metros por cada cuadro.

Consideraciones previas

Puedes consultar la teoría asociada en el apartado Trayectoria y ecuación de posición.

Resolución

En el tramo A-B el cuerpo describe una linea recta, cuya componente y (acompañada del vector unitario j), debe ser siempre 4. Por tanto, podemos descartar los vectores de posición $\overrightarrow{r}\left(t\right)=2t\overrightarrow{i}+4t\overrightarrow{j}$ y $\overrightarrow{r}\left(t\right)=4t\overrightarrow{i}+2t\overrightarrow{j}$ porque dependen de t en su componente y.

Por otro lado, la ecuación de posición $\overrightarrow{r}\left(t\right)=4\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}$ es un vector constante, no se mueve.

La única opción que nos queda es $\overrightarrow{r}\left(t\right)=2t\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}$, que es la única que coincide con las marcas temporales en los puntos A y B. Efectivamente, cuando t=0s, la ecuación de posición marca el vector (0,4), punto A, y cuando t=2 s nos queda (4, 4), que es el punto B.

Consideraciones previas

Te recomendamos que visites la teoría asociada en Diferencia entre desplazamiento y espacio recorrido.

Resolución

En relación al apartado a, el espacio recorrido es la distancia que se recorre sobre la trayectoria. En el caso de la trayctoria recta, es la longitud de la misma, es decir, 10m según nos indica el propio enunciado. En el caso de la semicircunferencia, será la longitud recorrida sobre la mitad de la circunferencia. Sabemos que la longitud completa de una circunferencia viene dada por L=2·π·r, siendo r el radio de la misma. En nuestro caso tenemos solo la mitad de una circunferencia, por lo que la longitud en este segundo caso, sabiendo que r=5m (la mitad del tramo CD), será L=π·r=15.7 m.

En relación al apartado b, tenemos que recordar que el desplazamiento es un vector, diferencia del vector de posición entre los puntos inicial y final exclusivamente, por lo que en ambos casos tenemos:

$$∆\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_f-{\overrightarrow{r}}_i=\left(10-0\right)\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}=10\overrightarrow{i} m$$

Ten presente que si hubiéramos utilizado otro sistma de referencia, con el origen en otro punto, el valor del desplazamiento sería el mismo.

Consideraciones previas

Recuerda que la velocidad media es una magnitud vectorial que solo depende del punto inicial, del punto final, y del tiempo empleado para ir de uno a otro, pero no de la trayectoria seguida.

Te recomendamos que visites la teoría asociada en Velocidad media.

Resolución

Tenemos que aplicar la expresión...

$$\overrightarrow{v_m}\hspace{0.17em}=\frac{∆\overrightarrow{r}}{∆t}=\frac{\overrightarrow{r_{\mathrm{D}}}-\overrightarrow{r_F}}{∆t}$$

Si pasamos todas las unidades al sistema internacional (metros en lugar de kilómetros y segundos en lugar de horas), y consideramos nuestro sistema de referencia centrado en el punto F, tenemos:

$$\begin{array}{c}{\overrightarrow{r}}_F=0\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j} m\\ {\overrightarrow{r}}_D=7000\overrightarrow{i}+10000\overrightarrow{j} m\end{array}$$

Quedando el vector velocidad media:

$$\overrightarrow{v_m}\hspace{0.17em}=\frac{\overrightarrow{r_{\mathrm{D}}}-\overrightarrow{r_F}}{∆t}=\frac{7000\overrightarrow{i}+10000\overrightarrow{j}}{1800}=3.88\overrightarrow{i}+5.55\overrightarrow{j} m/s$$

Consideraciones previas

Te recomendamos que visites la teoría asociada en Aceleración media.

Resolución

Sabemos que la aceleración media es una magnitud vectorial, cuya expresión es:

$${\overrightarrow{a}}_m=\frac{∆\overrightarrow{v}}{∆t}$$

Sabemos que ∆t= 3 s. Por otro lado, la variación en el vector velocidad es exclusivamente de dirección, siendo:

$$∆\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1=\underset{{\overrightarrow{v}}_2}{\underbrace{-3\overrightarrow{j}}}-\left(\underset{{\overrightarrow{v}}_1}{\underbrace{3\overrightarrow{i}}}\right)$$

Con lo que finalmnete nos queda:

$${\overrightarrow{a}}_m=\frac{∆\overrightarrow{v}}{∆t}=\frac{-3\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{i}}{3}=-\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j} m/s^2$$