¿Qué son las Potencias?
Las potencias son una forma de abreviar una sucesión de multiplicaciones de un mismo número por sí mismo que se representa como xy, por ejemplo:
2 · 2 · 2 · 2 = 24 = 16
Se denomina:
- base. Al número que se multiplica (x) un determinado número de veces. En el ejemplo anterior la base sería el 2.
- exponente. Al número de veces (y) que se multiplica la base. En nuestro caso sería el 4.
Así, podemos sustituir 2 · 2 · 2· 2 por 24 y se leería 2 elevado a 4.
A continuación mostramos algunos ejemplos de como nombraríamos las potencias:
- 57. 5 elevado a 7
- 92. 9 elevado a 2 o también, 9 elevado al cuadrado.
- 53. 5 elevado a 3 o también, 5 elevado al cubo.
- 41. 4 elevado a 1.
Como podemos deducir de los ejemplos anteriores, cuando el exponente es 2 o 3 pueden leerse de una forma especial:
- Si el exponente es el número 2, podemos llamarle cuadrado.
- Si el exponente es el número 3, podemos nombrarlo como cubo.
Llamamos potencias de exponente entero a aquellas potencias en las que el exponente es un número entero, es decir, pueden ser positivos, negativos o el cero y no tienen parte decimal.
Signo de las Potencias
El signo del resultado de una potencia depende de si el exponente es un número par o impar y si la base es positiva (+) o negativa (-). Si realizamos las 4 combinaciones posibles obtenemos la siguiente tabla:
| Esquema | Ejemplo |
|---|---|
| (+)par = + | 32 = 3 · 3 = 9 ( signo +) |
| (+)impar = + | 33 = 3 · 3 · 3 = 27 ( signo + ) |
| (-)par = + | -32 = -3 · -3 = 9 ( signo + ) |
| (-)impar = - | -33 = -3 · -3 · -3 = -27 (signo -) |
Como podemos observar en la tabla, el resultado de cualquier potencia siempre será positivo salvo que la base sea negativa y el exponente impar.
Propiedades de las Potencias de Exponente Entero
A continuación mostramos algunas de las operaciones básicas que se pueden realizar con las potencias.
Potencia con exponente 0
Cualquier número elevado a 0 (excepto el propio 0) es igual a 1 (la unidad)
Ejemplo.
Potencia con exponente 1
Cualquier número elevado a la unidad (1) da como resultado ese mismo número
Ejemplo.
Potencias de Potencias
Una potencia elevada a otra potencia es igual a otra potencia que:
- tiene la misma base
- el exponente es el producto de los 2 exponentes.
Ejemplo.
Producto de Potencias con la misma base
El producto de dos potencias que tienen la misma base da como resultado otra potencia que:
- tiene la misma base
- y su exponente es la suma de los exponentes de ambas potencias
Ejemplo.
Producto de Potencias con distinta base y el mismo exponente
El producto de dos potencias que no tienen la misma base aunque si el mismo exponente de como resultado otra potencia cuya:
- base es el producto de las bases de ambas potencias.
- el exponente es el mismo que el de ambas potencias.
Ejemplo.
División de Potencias con la misma base
La división de dos potencias con la misma base da como resultado otra potencia que:
- tiene la misma base que las dos anteriores
- y su exponente es la resta de los exponentes de ambas potencias.
Ejemplo.
División de Potencias con distinta base y el mismo exponente
La división entre dos potencias que no poseen la misma base y sus exponente son iguales, da como resultado otra potencia cuya:
- base es la división de las bases de ambas potencias
- el exponente es el mismo que el de ambas potencias
Ejemplo.
De todo lo visto anteriormente podemos obtener la siguiente tabla resumen:
| Propiedad | Expresión | Ejemplo |
|---|---|---|
| Potencias de Potencias | ||
| Producto de Potencias con la misma base | ||
| Producto de Potencias con distinta Base y el mismo exponente | ||
| División de Potencias con la misma base |
||
| División de Potencias con distinta base y el mismo exponente | ||
| Potencia con exponente 0 | ||
| Potencia con exponente 1 |